Номер 7.1, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.1. Используя свойства степени с целым показателем, упростите выражение:

1) $2a^{-2} \cdot 3a^4;$

2) $24a^5 : (6a^{-3});$

3) $(2c^{-3})^2;$

4) $2(3^{-3}b^3)^2 3b^{-4}.$

1) Чтобы упростить выражение $2a^{-2} \cdot 3a^4$, сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием.
Сначала перемножим коэффициенты: $2 \cdot 3 = 6$.
Затем, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, перемножим степени: $a^{-2} \cdot a^4 = a^{-2+4} = a^2$.
Объединив результаты, получаем итоговое выражение.
Ответ: $6a^2$

2) Для упрощения выражения $24a^5 : (6a^{-3})$ представим деление в виде дроби: $\frac{24a^5}{6a^{-3}}$.
Разделим числовые коэффициенты: $\frac{24}{6} = 4$.
Далее, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, разделим степени: $\frac{a^5}{a^{-3}} = a^{5 - (-3)} = a^{5+3} = a^8$.
Объединив результаты, получаем упрощенное выражение.
Ответ: $4a^8$

3) Чтобы упростить выражение $(2c^{-3})^2$, воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
Применив это свойство, получим: $2^2 \cdot (c^{-3})^2$.
Возведем в квадрат числовой коэффициент: $2^2 = 4$.
Затем, по свойству возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, упростим вторую часть: $(c^{-3})^2 = c^{-3 \cdot 2} = c^{-6}$.
Собираем все вместе.
Ответ: $4c^{-6}$

4) В выражении $2(3^{-3}b^3)^2 \cdot 3b^{-4}$ начнем с упрощения скобок.
Возведем произведение в скобках в квадрат, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$: $(3^{-3}b^3)^2 = (3^{-3})^2 \cdot (b^3)^2$.
Теперь применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$ и $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.
Исходное выражение примет вид: $2 \cdot 3^{-6}b^6 \cdot 3^1b^{-4}$.
Сгруппируем и перемножим числовые множители и степени с основанием $b$ по отдельности: $(2 \cdot 3^{-6} \cdot 3^1) \cdot (b^6 \cdot b^{-4})$.
Упростим числовую часть: $2 \cdot 3^{-6+1} = 2 \cdot 3^{-5}$.
Упростим часть с переменной: $b^{6+(-4)} = b^2$.
Выражение равно $2 \cdot 3^{-5}b^2$. Вычислим $3^5 = 243$, значит $3^{-5} = \frac{1}{243}$.
Итоговый результат: $2 \cdot \frac{1}{243} \cdot b^2 = \frac{2}{243}b^2$.
Ответ: $\frac{2}{243}b^2$