Номер 7.3, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.3. Вычислите:

1) $64^{-1} \cdot 32^2$;

2) $(6^3)^2 : 36^5$;

3) $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$;

4) $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$.

1) Чтобы вычислить $64^{-1} \cdot 32^2$, представим основания 64 и 32 в виде степеней числа 2. Поскольку $64 = 2^6$ и $32 = 2^5$, исходное выражение можно переписать так: $(2^6)^{-1} \cdot (2^5)^2$.
Применяя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{6 \cdot (-1)} \cdot 2^{5 \cdot 2} = 2^{-6} \cdot 2^{10}$.
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{-6+10} = 2^4$.
Вычисляем результат: $2^4 = 16$.
Ответ: 16

2) Рассмотрим выражение $(6^3)^2 : 36^5$. Сначала упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(6^3)^2 = 6^{3 \cdot 2} = 6^6$.
Затем представим делитель $36^5$ с основанием 6. Так как $36 = 6^2$, то $36^5 = (6^2)^5 = 6^{2 \cdot 5} = 6^{10}$.
Теперь выражение имеет вид: $6^6 : 6^{10}$.
Применяя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем: $6^{6-10} = 6^{-4}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, находим значение: $6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$.
Ответ: $\frac{1}{1296}$

3) Для вычисления выражения $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$, приведем все основания к одному числу, в данном случае к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в дробь: $\frac{(2^2)^{-3} \cdot 2^5}{(2^3)^{-4}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим числитель и знаменатель: $\frac{2^{2 \cdot (-3)} \cdot 2^5}{2^{3 \cdot (-4)}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^5}{2^{-12}}$.
В числителе применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $\frac{2^{-6+5}}{2^{-12}} = \frac{2^{-1}}{2^{-12}}$.
Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $2^{-1 - (-12)} = 2^{-1+12} = 2^{11}$.
Вычисляем конечный результат: $2^{11} = 2048$.
Ответ: 2048

4) Рассмотрим выражение $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: Сначала возведем степень в степень: $(3^{-3})^3 = 3^{-3 \cdot 3} = 3^{-9}$. Затем перемножим степени: $3^{-9} \cdot 3^7 = 3^{-9+7} = 3^{-2}$.
Знаменатель: Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$. Тогда $27^2 = (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{3^{-2}}{3^6}$.
Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $3^{-2-6} = 3^{-8}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $3^{-8} = \frac{1}{3^8} = \frac{1}{6561}$.
Ответ: $\frac{1}{6561}$