Номер 7.2, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.2. Представьте в виде степени с целым показателем выражение:

1) $125 \cdot 5^{-4}$;

2) $27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$;

3) $\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64$;

4) $100^2 \cdot 10^{-3}$.

1) Чтобы представить выражение в виде степени, необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 5.
Представим число 125 в виде степени с основанием 5:
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Теперь исходное выражение можно записать так:
$125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+(-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$.
Ответ: $5^{-1}$.

2) Приведем все числа в выражении к степеням с основанием 3.
$27 = 3^3$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2} = 3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются ($a^m \cdot a^n : a^k = a^{m+n-k}$):
$3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2} = 3^{3+(-2)+(-4)-(-2)} = 3^{3-2-4+2} = 3^{-1}$.
Ответ: $3^{-1}$.

3) Приведем все числа в выражении к степеням с основанием 2.
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$
$64 = 2^6$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64 = 2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6$.
Выполним действия со степенями:
$2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6 = 2^{-5+7} : 2^6 = 2^2 : 2^6 = 2^{2-6} = 2^{-4}$.
Ответ: $2^{-4}$.

4) Приведем все множители к основанию 10.
Представим 100 как степень 10:
$100 = 10^2$.
Тогда $100^2$ можно записать как $(10^2)^2$. При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$.
Теперь исходное выражение имеет вид:
$100^2 \cdot 10^{-3} = 10^4 \cdot 10^{-3}$.
При умножении степеней показатели складываются:
$10^4 \cdot 10^{-3} = 10^{4+(-3)} = 10^{4-3} = 10^1$.
Ответ: $10^1$.