Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.1. Используя свойства степени с целым показателем, упростите выражение:

1) $2a^{-2} \cdot 3a^4;$

2) $24a^5 : (6a^{-3});$

3) $(2c^{-3})^2;$

4) $2(3^{-3}b^3)^2 3b^{-4}.$

1) Чтобы упростить выражение $2a^{-2} \cdot 3a^4$, сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием.
Сначала перемножим коэффициенты: $2 \cdot 3 = 6$.
Затем, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, перемножим степени: $a^{-2} \cdot a^4 = a^{-2+4} = a^2$.
Объединив результаты, получаем итоговое выражение.
Ответ: $6a^2$

2) Для упрощения выражения $24a^5 : (6a^{-3})$ представим деление в виде дроби: $\frac{24a^5}{6a^{-3}}$.
Разделим числовые коэффициенты: $\frac{24}{6} = 4$.
Далее, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, разделим степени: $\frac{a^5}{a^{-3}} = a^{5 - (-3)} = a^{5+3} = a^8$.
Объединив результаты, получаем упрощенное выражение.
Ответ: $4a^8$

3) Чтобы упростить выражение $(2c^{-3})^2$, воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
Применив это свойство, получим: $2^2 \cdot (c^{-3})^2$.
Возведем в квадрат числовой коэффициент: $2^2 = 4$.
Затем, по свойству возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, упростим вторую часть: $(c^{-3})^2 = c^{-3 \cdot 2} = c^{-6}$.
Собираем все вместе.
Ответ: $4c^{-6}$

4) В выражении $2(3^{-3}b^3)^2 \cdot 3b^{-4}$ начнем с упрощения скобок.
Возведем произведение в скобках в квадрат, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$: $(3^{-3}b^3)^2 = (3^{-3})^2 \cdot (b^3)^2$.
Теперь применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$ и $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.
Исходное выражение примет вид: $2 \cdot 3^{-6}b^6 \cdot 3^1b^{-4}$.
Сгруппируем и перемножим числовые множители и степени с основанием $b$ по отдельности: $(2 \cdot 3^{-6} \cdot 3^1) \cdot (b^6 \cdot b^{-4})$.
Упростим числовую часть: $2 \cdot 3^{-6+1} = 2 \cdot 3^{-5}$.
Упростим часть с переменной: $b^{6+(-4)} = b^2$.
Выражение равно $2 \cdot 3^{-5}b^2$. Вычислим $3^5 = 243$, значит $3^{-5} = \frac{1}{243}$.
Итоговый результат: $2 \cdot \frac{1}{243} \cdot b^2 = \frac{2}{243}b^2$.
Ответ: $\frac{2}{243}b^2$

7.2. Представьте в виде степени с целым показателем выражение:

1) $125 \cdot 5^{-4}$;

2) $27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$;

3) $\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64$;

4) $100^2 \cdot 10^{-3}$.

1) Чтобы представить выражение в виде степени, необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 5.
Представим число 125 в виде степени с основанием 5:
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.
Теперь исходное выражение можно записать так:
$125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+(-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$.
Ответ: $5^{-1}$.

2) Приведем все числа в выражении к степеням с основанием 3.
$27 = 3^3$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2} = 3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются ($a^m \cdot a^n : a^k = a^{m+n-k}$):
$3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2} = 3^{3+(-2)+(-4)-(-2)} = 3^{3-2-4+2} = 3^{-1}$.
Ответ: $3^{-1}$.

3) Приведем все числа в выражении к степеням с основанием 2.
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$
$64 = 2^6$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64 = 2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6$.
Выполним действия со степенями:
$2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6 = 2^{-5+7} : 2^6 = 2^2 : 2^6 = 2^{2-6} = 2^{-4}$.
Ответ: $2^{-4}$.

4) Приведем все множители к основанию 10.
Представим 100 как степень 10:
$100 = 10^2$.
Тогда $100^2$ можно записать как $(10^2)^2$. При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$.
Теперь исходное выражение имеет вид:
$100^2 \cdot 10^{-3} = 10^4 \cdot 10^{-3}$.
При умножении степеней показатели складываются:
$10^4 \cdot 10^{-3} = 10^{4+(-3)} = 10^{4-3} = 10^1$.
Ответ: $10^1$.

7.3. Вычислите:

1) $64^{-1} \cdot 32^2$;

2) $(6^3)^2 : 36^5$;

3) $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$;

4) $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$.

1) Чтобы вычислить $64^{-1} \cdot 32^2$, представим основания 64 и 32 в виде степеней числа 2. Поскольку $64 = 2^6$ и $32 = 2^5$, исходное выражение можно переписать так: $(2^6)^{-1} \cdot (2^5)^2$.
Применяя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{6 \cdot (-1)} \cdot 2^{5 \cdot 2} = 2^{-6} \cdot 2^{10}$.
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{-6+10} = 2^4$.
Вычисляем результат: $2^4 = 16$.
Ответ: 16

2) Рассмотрим выражение $(6^3)^2 : 36^5$. Сначала упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(6^3)^2 = 6^{3 \cdot 2} = 6^6$.
Затем представим делитель $36^5$ с основанием 6. Так как $36 = 6^2$, то $36^5 = (6^2)^5 = 6^{2 \cdot 5} = 6^{10}$.
Теперь выражение имеет вид: $6^6 : 6^{10}$.
Применяя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем: $6^{6-10} = 6^{-4}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, находим значение: $6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$.
Ответ: $\frac{1}{1296}$

3) Для вычисления выражения $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$, приведем все основания к одному числу, в данном случае к 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в дробь: $\frac{(2^2)^{-3} \cdot 2^5}{(2^3)^{-4}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим числитель и знаменатель: $\frac{2^{2 \cdot (-3)} \cdot 2^5}{2^{3 \cdot (-4)}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^5}{2^{-12}}$.
В числителе применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $\frac{2^{-6+5}}{2^{-12}} = \frac{2^{-1}}{2^{-12}}$.
Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $2^{-1 - (-12)} = 2^{-1+12} = 2^{11}$.
Вычисляем конечный результат: $2^{11} = 2048$.
Ответ: 2048

4) Рассмотрим выражение $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: Сначала возведем степень в степень: $(3^{-3})^3 = 3^{-3 \cdot 3} = 3^{-9}$. Затем перемножим степени: $3^{-9} \cdot 3^7 = 3^{-9+7} = 3^{-2}$.
Знаменатель: Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$. Тогда $27^2 = (3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
Теперь вся дробь имеет вид: $\frac{3^{-2}}{3^6}$.
Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $3^{-2-6} = 3^{-8}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $3^{-8} = \frac{1}{3^8} = \frac{1}{6561}$.
Ответ: $\frac{1}{6561}$

7.4. Найдите значение выражения:

1) $10^{-3} \cdot 0,001;$

2) $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4};$

3) $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27};$

4) $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}.$

1) Чтобы найти значение выражения $10^{-3} \cdot 0,001$, представим десятичную дробь $0,001$ в виде степени с основанием 10. Мы знаем, что $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Теперь подставим это в исходное выражение:$10^{-3} \cdot 10^{-3}$.При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).$10^{-3} \cdot 10^{-3} = 10^{-3 + (-3)} = 10^{-6}$.Значение $10^{-6}$ равно $\frac{1}{10^6}$ или $0,000001$.Ответ: $0,000001$.

2) В выражении $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4}$ используем свойства степеней. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $13^0 = 1$. При умножении и делении степеней с одинаковым основанием их показатели соответственно складываются и вычитаются.Выражение можно упростить:$1 \cdot 13^{-2} : 13^{-4} = 13^{-2} : 13^{-4}$.Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:$13^{-2 - (-4)} = 13^{-2+4} = 13^2$.Вычислим значение: $13^2 = 13 \cdot 13 = 169$.Ответ: $169$.

3) Для упрощения дроби $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27}$ представим все числа в виде степеней с основанием 3.Числа $9$ и $27$ можно записать как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.Подставим эти значения в выражение:$\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot (3^2)^{-1}}{3^3}$.Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(3^{-2})^{-2} = 3^{(-2) \cdot (-2)} = 3^4$.$(3^2)^{-1} = 3^{2 \cdot (-1)} = 3^{-2}$.Теперь выражение в числителе выглядит так: $3^4 \cdot 3^{-2}$.Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$3^4 \cdot 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^2$.Дробь принимает вид: $\frac{3^2}{3^3}$.Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1}$.По определению отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $3^{-1} = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$.

4) В выражении $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}$ приведем все числа к основанию 5.Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.Подставим эти значения в исходное выражение:$\frac{(5^2)^{-2} \cdot 5^3}{5^3}$.Сначала упростим числитель. Возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$.Теперь числитель равен $5^{-4} \cdot 5^3$.При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1}$.Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{5^{-1}}{5^3}$.При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:$\frac{5^{-1}}{5^3} = 5^{-1-3} = 5^{-4}$.Вычислим окончательное значение: $5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{625}$.Ответ: $\frac{1}{625}$.