Номер 7.5, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.5. Представьте в виде степени и найдите значение выражения:

1) $5(5a^{-3})^{-2} a^{-2}$ при $a = (0,2)^{-1};$

2) $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^{5})^{3}$ при $a = (0,5)^{-4};$

3) $(2^{3}a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a = -0,125;$

4) $27(-3^{2}a^{3}) : (3^{5}a^{-1})^{3}$ при $a = -0,1.$

1)

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$5(5a^{-3})^2 a^{-2} = 5 \cdot 5^2 \cdot (a^{-3})^2 \cdot a^{-2} = 5^1 \cdot 5^2 \cdot a^{-3 \cdot 2} \cdot a^{-2} = 5^{1+2} \cdot a^{-6} \cdot a^{-2} = 5^3 \cdot a^{-6-2} = 5^3 a^{-8}$.

Теперь найдем значение $a$:

$a = (0,2)^{-1} = (\frac{2}{10})^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.

Подставим найденное значение $a$ в упрощенное выражение, чтобы представить его в виде степени и найти значение:

$5^3 a^{-8} = 5^3 \cdot 5^{-8} = 5^{3-8} = 5^{-5}$.

Вычислим окончательное значение:

$5^{-5} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}$.

Ответ: $5^{-5} = \frac{1}{3125}$.

2)

Упростим выражение $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5)^3$. Для этого представим числовые коэффициенты в виде степеней двойки: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$.

Выражение принимает вид:

$((2^{-1})a^{-2})^{-2} : ((2^5)a^5)^3$.

Применим свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$((2^{-1})^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2}) : ((2^5)^3 \cdot (a^5)^3) = (2^2 a^4) : (2^{15} a^{15})$.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$):

$2^{2-15} \cdot a^{4-15} = 2^{-13} a^{-11}$.

Теперь найдем значение $a$:

$a = (0,5)^{-4} = (\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$2^{-13} \cdot (2^4)^{-11} = 2^{-13} \cdot 2^{4 \cdot (-11)} = 2^{-13} \cdot 2^{-44} = 2^{-13-44} = 2^{-57}$.

Ответ: $2^{-57}$.

3)

Упростим выражение $(2^3a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$.

Представим $64$ как степень двойки: $64 = 2^6$. Раскроем скобки и выполним действия со степенями:

$(2^{3 \cdot (-1)} a^{-3 \cdot (-1)}) \cdot 2^6 a^{-4} : a^{-5} = (2^{-3}a^3) \cdot 2^6 a^{-4} : a^{-5}$.

Сначала выполним умножение:

$(2^{-3+6} \cdot a^{3-4}) : a^{-5} = (2^3 a^{-1}) : a^{-5}$.

Затем выполним деление:

$2^3 \cdot a^{-1 - (-5)} = 2^3 a^{-1+5} = 2^3 a^4 = 8a^4$.

Теперь найдем значение $a$:

$a = -0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$8a^4 = 8 \cdot (-\frac{1}{8})^4 = 8^1 \cdot \frac{1}{8^4} = 8^{1-4} = 8^{-3}$.

Представим результат в виде степени с основанием 2 и вычислим значение:

$8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{-9} = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $8^{-3} = \frac{1}{512}$.

4)

Упростим выражение $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1})^3$.

Важно отметить, что $-3^2 = -(3^2) = -9$. Представим все числовые коэффициенты в виде степеней тройки: $27 = 3^3$ и $-9 = -3^2$.

Упростим числитель (делимое):

$27(-3^2a^3) = 3^3 \cdot (-3^2 a^3) = -3^{3+2} a^3 = -3^5 a^3$.

Упростим знаменатель (делитель):

$(3^5a^{-1})^3 = (3^5)^3 \cdot (a^{-1})^3 = 3^{5 \cdot 3} a^{-1 \cdot 3} = 3^{15} a^{-3}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-3^5 a^3}{3^{15} a^{-3}} = - \frac{3^5}{3^{15}} \cdot \frac{a^3}{a^{-3}} = -3^{5-15} \cdot a^{3 - (-3)} = -3^{-10} a^6$.

Найдем значение при $a = -0,1$:

$a = -0,1 = -\frac{1}{10}$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$-3^{-10} a^6 = -3^{-10} \cdot (-\frac{1}{10})^6 = -3^{-10} \cdot \frac{1}{10^6} = -\frac{1}{3^{10} \cdot 10^6}$.

Вычислим значение:

$3^{10} = 59049$.

$-\frac{1}{3^{10} \cdot 10^6} = -\frac{1}{59049 \cdot 1000000} = -\frac{1}{59049000000}$.

Ответ: $-3^{-10} a^6 = -\frac{1}{59049000000}$.