Номер 7.12, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.12. Решите уравнение:

1) $7^{-2}x = 21 + 3^{-1};$

2) $0,01 \cdot 10^3x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2;$

3) $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}} x = 2^2 \cdot 3;$

4) $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3} \cdot 2^x = 10^{-1}.$

1)Решим уравнение $7^{-2}x = 21 + 3^{-1}$.
Сначала вычислим значения степеней с отрицательным показателем. По определению $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
Подставим эти значения обратно в уравнение:
$\frac{1}{49}x = 21 + \frac{1}{3}$
Теперь сложим числа в правой части, приведя их к общему знаменателю:
$21 + \frac{1}{3} = \frac{21 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{63}{3} + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{49}x = \frac{64}{3}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 49:
$x = \frac{64}{3} \cdot 49$
$x = \frac{3136}{3}$
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 1045\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{3136}{3}$.

2)Решим уравнение $0,01 \cdot 10^{3}x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2$.
Сначала упростим коэффициенты и свободные члены:
$0,01 \cdot 10^3 = \frac{1}{100} \cdot 1000 = 10$
$5^2 = 25$
Подставим упрощенные значения в уравнение:
$10x + 25 - x = 2 \cdot 25$
$10x + 25 - x = 50$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения перенесем в правую:
$10x - x = 50 - 25$
$9x = 25$
Разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти $x$:
$x = \frac{25}{9}$
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 2\frac{7}{9}$.
Ответ: $x = \frac{25}{9}$.

3)Решим уравнение $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}} x = 2^2 \cdot 3$.
Упростим выражение в левой части. Воспользуемся свойствами степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
В числителе: $3 \cdot 3^{-2} = 3^1 \cdot 3^{-2} = 3^{1-2} = 3^{-1}$.
Весь коэффициент при $x$ можно преобразовать так:
$\frac{3^{-1}}{6^{-2}} = \frac{3^{-1}}{(2 \cdot 3)^{-2}} = \frac{3^{-1}}{2^{-2} \cdot 3^{-2}} = 3^{-1 - (-2)} \cdot 2^{-(-2)} = 3^{1} \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 = 12$
Теперь упростим правую часть уравнения:
$2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$
Уравнение принимает вид:
$12x = 12$
Разделим обе части на 12:
$x = \frac{12}{12} = 1$
Ответ: $x = 1$.

4)Решим уравнение $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3 \cdot 2} x = 10^{-1}$.
Упростим коэффициент при $x$. Используем свойства степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ и $a^0=1$ (для $a \neq 0$):
В числителе дроби: $5^3 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3)^3 = 15^3$.
В знаменателе дроби: $12^0 = 1$. Знаменатель равен $1 \cdot 15^3 \cdot 2 = 2 \cdot 15^3$.
Таким образом, коэффициент при $x$ равен:
$\frac{15^3}{2 \cdot 15^3} = \frac{1}{2}$ (сократили на $15^3$).
Упростим правую часть уравнения:
$10^{-1} = \frac{1}{10}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{2}x = \frac{1}{10}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $x = 0,2$.
Ответ: $x = \frac{1}{5}$.