Номер 7.14, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.14. Найдите наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $4^{-2}x \le 12,75 - 4^{-1}$;

2) $12^2 + 3^4x \le 8^2 \cdot x + 6^{-1}$;

3) $4^{-1}x \le 13^0 - 12^{-1} - 3x$.

1) $4^{-2}x \le 12,75 - 4^{-1}$

Сначала преобразуем числовые значения в неравенстве. Используем свойства степеней с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$) и переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

$4^{-1} = \frac{1}{4}$

$12,75 = 12\frac{75}{100} = 12\frac{3}{4} = \frac{51}{4}$

Подставим эти значения обратно в исходное неравенство:

$\frac{1}{16}x \le \frac{51}{4} - \frac{1}{4}$

Выполним вычитание в правой части:

$\frac{1}{16}x \le \frac{50}{4}$

$\frac{1}{16}x \le 12,5$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 16. Так как 16 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$x \le 12,5 \cdot 16$

$x \le 200$

Неравенству удовлетворяют все целые числа, которые меньше или равны 200. Наибольшим из них является 200.

Ответ: 200.

2) $12^2 + 3^4x \le 8^2 \cdot x + 6^{-1}$

Вычислим значения степеней в неравенстве:

$12^2 = 144$

$3^4 = 81$

$8^2 = 64$

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

Подставим вычисленные значения в неравенство:

$144 + 81x \le 64x + \frac{1}{6}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.

$81x - 64x \le \frac{1}{6} - 144$

$17x \le \frac{1}{6} - \frac{144 \cdot 6}{6}$

$17x \le \frac{1 - 864}{6}$

$17x \le -\frac{863}{6}$

Разделим обе части неравенства на 17:

$x \le -\frac{863}{6 \cdot 17}$

$x \le -\frac{863}{102}$

Чтобы найти наибольшее целое число, выделим целую часть дроби:

$-\frac{863}{102} = -8\frac{47}{102}$

Получаем неравенство $x \le -8\frac{47}{102}$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, находится слева от $-8\frac{47}{102}$ на числовой оси, то есть это -9.

Ответ: -9.

3) $4^{-1}x \le 13^0 - 12^{-1} - 3x$

Преобразуем степени:

$4^{-1} = \frac{1}{4}$

$13^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)

$12^{-1} = \frac{1}{12}$

Подставим эти значения в неравенство:

$\frac{1}{4}x \le 1 - \frac{1}{12} - 3x$

Перенесем слагаемое $-3x$ в левую часть с противоположным знаком:

$\frac{1}{4}x + 3x \le 1 - \frac{1}{12}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю в обеих частях неравенства:

$(\frac{1}{4} + \frac{12}{4})x \le \frac{12}{12} - \frac{1}{12}$

$\frac{13}{4}x \le \frac{11}{12}$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части на $\frac{4}{13}$. Это положительное число, поэтому знак неравенства сохраняется.

$x \le \frac{11}{12} \cdot \frac{4}{13}$

Сократим дробь на 4:

$x \le \frac{11}{3 \cdot 13}$

$x \le \frac{11}{39}$

Дробь $\frac{11}{39}$ является положительной, но меньше 1. Неравенству $x \le \frac{11}{39}$ удовлетворяют целые числа 0, -1, -2 и так далее. Наибольшим из них является 0.

Ответ: 0.