Номер 7.15, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (7.15–7.16):

7.15. 1) $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3a^3 = 2^2a^{-1};$

2) $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}};$

3) $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4.$

1)

Чтобы доказать тождество $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3 a^3 = 2^2 a^{-1}$, преобразуем его левую часть.

Представим десятичную дробь 0,25 и число 4 в виде степеней с основанием 2:

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Подставим эти значения в левую часть тождества:

$(2^{-2}a^{-2})^2 \cdot 2^6 a^3$

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень ($(xy)^n = x^n y^n$), а при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(x^m)^n = x^{mn}$):

$(2^{-2})^2(a^{-2})^2 \cdot 2^6 a^3 = 2^{-2 \cdot 2} a^{-2 \cdot 2} \cdot 2^6 a^3 = 2^{-4} a^{-4} \cdot 2^6 a^3$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$(2^{-4} \cdot 2^6) \cdot (a^{-4} \cdot a^3) = 2^{-4+6} a^{-4+3} = 2^2 a^{-1}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3 a^3 = ( (2^{-2})a^{-2} )^2 \cdot (2^2)^3 a^3 = (2^{-4}a^{-4}) \cdot (2^6 a^3) = 2^{-4+6}a^{-4+3} = 2^2 a^{-1}$, тождество верно.

2)

Чтобы доказать тождество $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}}$, преобразуем обе его части.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражение в числителе и знаменателе дроби.

В числителе: $2^3 : 4 = 8 : 4 = 2$.

В знаменателе: $14^0 \cdot a^{-2}$. Любое число в нулевой степени равно 1 ($x^0=1$), поэтому $14^0 = 1$. Знаменатель равен $1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$.

Теперь выражение для левой части выглядит так:

$\frac{2}{a^{-2}} \cdot a$

Используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.

$2a^2 \cdot a = 2a^{2+1} = 2a^3$.

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$\frac{2}{a^{-3}} = 2 \cdot \frac{1}{a^{-3}} = 2 \cdot a^3 = 2a^3$.

Левая и правая части равны $2a^3$. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть: $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{8 : 4}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-2}} \cdot a = 2a^2 \cdot a = 2a^3$. Правая часть: $\frac{2}{a^{-3}} = 2a^3$. Так как $2a^3 = 2a^3$, тождество верно.

3)

Чтобы доказать тождество $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4$, преобразуем его левую часть.

Упростим числитель дроби: $2^3 : 8 = 8 : 8 = 1$.

Упростим знаменатель дроби: $24^0 \cdot a^{-2}$. Так как $24^0 = 1$, знаменатель равен $1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$.

Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$\frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2$

Используя свойство $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, получаем $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.

$a^2 \cdot a^2 = a^{2+2} = a^4$.

Левая часть тождества равна правой ($a^4$). Тождество доказано.

Ответ: $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{8 : 8}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2 = a^2 \cdot a^2 = a^4$, тождество верно.