Номер 7.7, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.7. Решите неравенство:

1) $7^{-1}x - 2^{-2}x \ge 2\frac{4}{7}$;

2) $3,125 + x \le 5,125 - 4^{-1}x$;

3) $7,25 + 2x > 5,125 - 5^{-1}x$;

4) $12,5x - 5,125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.

1) Исходное неравенство: $7^{-1}x - 2^{-2}x \ge 2\frac{4}{7}$.
Сначала преобразуем все числовые коэффициенты в дроби.$7^{-1} = \frac{1}{7}$
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$
Подставим полученные значения в неравенство:
$\frac{1}{7}x - \frac{1}{4}x \ge \frac{18}{7}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 28:
$(\frac{4}{28} - \frac{7}{28})x \ge \frac{18}{7}$
$-\frac{3}{28}x \ge \frac{18}{7}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-\frac{28}{3}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{18}{7} \cdot (-\frac{28}{3})$
$x \le -(\frac{18 \cdot 28}{7 \cdot 3})$
Сократим дробь:
$x \le -(6 \cdot 4)$
$x \le -24$
Ответ: $x \in (-\infty; -24]$.

2) Исходное неравенство: $3,125 + x \le 5,125 - 4^{-1}x$.
Преобразуем $4^{-1}$:
$4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$
Неравенство принимает вид:
$3,125 + x \le 5,125 - 0,25x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$x + 0,25x \le 5,125 - 3,125$
$1,25x \le 2$
Представим $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = \frac{5}{4}$.
$\frac{5}{4}x \le 2$
Умножим обе части на $\frac{4}{5}$:
$x \le 2 \cdot \frac{4}{5}$
$x \le \frac{8}{5}$
$x \le 1,6$
Ответ: $x \in (-\infty; 1,6]$.

3) Исходное неравенство: $7,25 + 2x > 5,125 - 5^{-1}x$.
Преобразуем $5^{-1}$:
$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$
Неравенство принимает вид:
$7,25 + 2x > 5,125 - 0,2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x + 0,2x > 5,125 - 7,25$
$2,2x > -2,125$
Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:
$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$
$2,125 = 2\frac{125}{1000} = 2\frac{1}{8} = \frac{17}{8}$
Неравенство принимает вид:
$\frac{11}{5}x > -\frac{17}{8}$
Умножим обе части на $\frac{5}{11}$ (знак неравенства не меняется):
$x > -\frac{17}{8} \cdot \frac{5}{11}$
$x > -\frac{85}{88}$
Ответ: $x \in (-\frac{85}{88}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $12,5x - 5,125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.
Преобразуем все числа в обыкновенные дроби:
$12,5 = \frac{25}{2}$
$5,125 = 5\frac{125}{1000} = 5\frac{1}{8} = \frac{41}{8}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$4^{-1} = \frac{1}{4}$
Подставим дроби в неравенство:
$\frac{25}{2}x - \frac{41}{8} < \frac{1}{8} - \frac{1}{4}x$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а постоянные — вправо:
$\frac{25}{2}x + \frac{1}{4}x < \frac{1}{8} + \frac{41}{8}$
Приведем к общему знаменателю слагаемые в левой части:
$\frac{50}{4}x + \frac{1}{4}x < \frac{42}{8}$
$\frac{51}{4}x < \frac{42}{8}$
Сократим дробь в правой части: $\frac{42}{8} = \frac{21}{4}$.
$\frac{51}{4}x < \frac{21}{4}$
Умножим обе части на 4:
$51x < 21$
Разделим на 51:
$x < \frac{21}{51}$
Сократим дробь на 3:
$x < \frac{7}{17}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{17})$.