Номер 4.10, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.10. Упростите:

1) $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$;

2) $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$;

3) $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$ выполним следующие шаги:

Сначала представим числовые коэффициенты 125 и 25 в виде степеней числа 5: $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать так: $\frac{((5^3)b^2)^3}{(5^2)b^4}$.

Теперь возведем в степень числитель, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^nb^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$( (5^3)b^2 )^3 = (5^3)^3 \cdot (b^2)^3 = 5^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 5^9 b^6$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{5^9 b^6}{5^2 b^4}$.

Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^9}{5^2} \cdot \frac{b^6}{b^4} = 5^{9-2} \cdot b^{6-4} = 5^7 b^2$.

Вычислим $5^7$: $5^7 = 78125$.

Таким образом, окончательное выражение равно $78125b^2$.

Ответ: $78125b^2$.

2) Упростим выражение $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$.

Сначала упростим знаменатель. Возведем в куб выражение $(-y^3)$, используя свойство $(-a)^n = -a^n$ для нечетного n:

$(-y^3)^3 = -(y^3)^3 = -y^{3 \cdot 3} = -y^9$.

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$-27x^{12}(-y^9) = (-27) \cdot (-1) \cdot x^{12}y^9 = 27x^{12}y^9$.

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{45x^{14}y^9}{27x^{12}y^9}$.

Сократим числовые коэффициенты, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 9:

$\frac{45}{27} = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{3}$.

Теперь сократим переменные, используя свойство деления степеней:

$\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{14-12} = x^2$.

$\frac{y^9}{y^9} = y^{9-9} = y^0 = 1$.

Соберем все части вместе:

$\frac{5}{3} \cdot x^2 \cdot 1 = \frac{5}{3}x^2$.

Ответ: $\frac{5}{3}x^2$.

3) Упростим выражение $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

Сначала упростим числитель. Возведем в степень выражение $(d^4)^5$ по свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(d^4)^5 = d^{4 \cdot 5} = d^{20}$.

Подставим это в числитель:

$-32c^{15}d^{20}$.

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{-32c^{15}d^{20}}{24c^{13}d^{17}}$.

Сократим числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель для 32 и 24 равен 8:

$\frac{-32}{24} = \frac{-4 \cdot 8}{3 \cdot 8} = -\frac{4}{3}$.

Теперь сократим переменные, используя свойство деления степеней:

$\frac{c^{15}}{c^{13}} = c^{15-13} = c^2$.

$\frac{d^{20}}{d^{17}} = d^{20-17} = d^3$.

Соберем все части вместе:

$-\frac{4}{3} \cdot c^2 \cdot d^3 = -\frac{4c^2d^3}{3}$.

Ответ: $-\frac{4c^2d^3}{3}$.