Номер 5.15, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.15. Вычислите:

1) $(100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33});$

2) $(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2;$

3) $(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6)^{10} : (\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6)^5;$

4) $(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3)^8 \cdot (\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27})^2.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Исходное выражение: $(100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33})$.

Сначала раскроем скобки, применив свойство $(a^m \cdot b^k)^n = a^{m \cdot n} \cdot b^{k \cdot n}$:

$(100^{10} \cdot 9^3)^7 = 100^{10 \cdot 7} \cdot 9^{3 \cdot 7} = 100^{70} \cdot 9^{21}$

$(100^{20} \cdot 9^6)^2 = 100^{20 \cdot 2} \cdot 9^{6 \cdot 2} = 100^{40} \cdot 9^{12}$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(100^{70} \cdot 9^{21}) \cdot (100^{40} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(100^{70} \cdot 100^{40}) \cdot (9^{21} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33})$

$100^{70+40} \cdot 9^{21+12} : (100^{109} \cdot 9^{33})$

$100^{110} \cdot 9^{33} : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$(100^{110} : 100^{109}) \cdot (9^{33} : 9^{33}) = 100^{110-109} \cdot 9^{33-33} = 100^1 \cdot 9^0 = 100 \cdot 1 = 100$

Ответ: $100$.

2) Решаем аналогично первому примеру, используя те же свойства степеней.

Исходное выражение: $(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2$.

Раскроем скобки:

$(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 = 0,15^{16 \cdot 5} \cdot 3^{7 \cdot 5} = 0,15^{80} \cdot 3^{35}$

$(3^3 \cdot 0,15^{10})^3 = 3^{3 \cdot 3} \cdot 0,15^{10 \cdot 3} = 3^9 \cdot 0,15^{30}$

$(3^{20} \cdot 0,15^{55})^2 = 3^{20 \cdot 2} \cdot 0,15^{55 \cdot 2} = 3^{40} \cdot 0,15^{110}$

Подставим в исходное выражение:

$(0,15^{80} \cdot 3^{35}) \cdot (3^9 \cdot 0,15^{30}) : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(0,15^{80} \cdot 0,15^{30}) \cdot (3^{35} \cdot 3^9) : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

$0,15^{80+30} \cdot 3^{35+9} : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

$0,15^{110} \cdot 3^{44} : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

Выполним деление:

$(0,15^{110} : 0,15^{110}) \cdot (3^{44} : 3^{40}) = 0,15^{110-110} \cdot 3^{44-40} = 0,15^0 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81$

Ответ: $81$.

3) Используем те же свойства степеней для дробей.

Исходное выражение: $\left(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6\right)^{10} : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6\right)^5$.

Раскроем скобки:

$\left(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6\right)^{10} = \left(\frac{3}{4}\right)^{3 \cdot 10} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{6 \cdot 10} = \left(\frac{3}{4}\right)^{30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{60}$

$\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6\right)^5 = \left(\frac{4}{5}\right)^{12 \cdot 5} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{6 \cdot 5} = \left(\frac{4}{5}\right)^{60} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{30}$

Подставим в исходное выражение:

$\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{60}\right) : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{60} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{30}\right)$

Так как делимое и делитель равны, их частное равно 1. Проверим, выполнив деление степеней с одинаковыми основаниями:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{30-30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{60-60} = \left(\frac{3}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^0 = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$.

4) В данном примере знак между скобками является умножением. Однако, учитывая структуру подобных заданий, где обычно получается простое число или дробь, более вероятно, что в условии опечатка, и вместо умножения должно быть деление. Решим задачу, предполагая, что операция - деление.

Предполагаемое выражение: $\left(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3\right)^8 : \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27}\right)^2$.

Раскроем скобки:

$\left(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3\right)^8 = \left(\frac{5}{6}\right)^{7 \cdot 8} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{3 \cdot 8} = \left(\frac{5}{6}\right)^{56} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24}$

$\left(\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27}\right)^2 = \left(\frac{6}{7}\right)^{11 \cdot 2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27 \cdot 2} = \left(\frac{6}{7}\right)^{22} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{54}$

Подставим в выражение и выполним деление:

$\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{56} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24}\right) : \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{22} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{54}\right)$

Сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями:

$\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{56} : \left(\frac{5}{6}\right)^{54}\right) \cdot \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{24} : \left(\frac{6}{7}\right)^{22}\right)$

$\left(\frac{5}{6}\right)^{56-54} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24-22} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^2$

Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\left(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7}\right)^2 = \left(\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 7}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49}$

Ответ: $\frac{25}{49}$.