Номер 5.13, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.13. Найдите значение выражения:

1) $ (a^3b^5)^5 : (a^7b^{12})^2 \cdot (ab)^3 $ при $a = -2$, $b = -\frac{1}{2};$

2) $ \left(\frac{a^4}{b^5}\right)^2 \cdot \left(\frac{b^6}{a^3}\right)^2 : (ab) $ при $a = -\frac{1}{3}$, $b = -3.$

1) Для начала упростим выражение $(a^3b^5)^5 : (a^7b^{12})^2 \cdot (ab)^3$, применяя свойства степеней: $(x^m)^n = x^{mn}$, $(xy)^n = x^n y^n$, $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Раскроем скобки в каждом из трех множителей:

$(a^3b^5)^5 = (a^3)^5 \cdot (b^5)^5 = a^{3 \cdot 5} b^{5 \cdot 5} = a^{15}b^{25}$

$(a^7b^{12})^2 = (a^7)^2 \cdot (b^{12})^2 = a^{7 \cdot 2} b^{12 \cdot 2} = a^{14}b^{24}$

$(ab)^3 = a^3b^3$

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$a^{15}b^{25} : a^{14}b^{24} \cdot a^3b^3$

Выполним действия в соответствии с их порядком. Первым идет деление:

$(a^{15}b^{25}) : (a^{14}b^{24}) = a^{15-14}b^{25-24} = a^1b^1 = ab$

Затем выполним умножение:

$(ab) \cdot (a^3b^3) = a^{1+3}b^{1+3} = a^4b^4$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид $(ab)^4$.

Подставим заданные значения $a = -2$ и $b = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение.

Сначала вычислим произведение $ab$:

$ab = (-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$

Теперь вычислим итоговое значение:

$(ab)^4 = 1^4 = 1$

Ответ: $1$.

2) Упростим данное выражение $(\frac{a^4}{b^5})^2 \cdot (\frac{b^6}{a^3})^2 : (ab)$, используя свойства степеней: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$, $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Преобразуем каждый множитель, возводя дроби в степень:

$(\frac{a^4}{b^5})^2 = \frac{(a^4)^2}{(b^5)^2} = \frac{a^8}{b^{10}}$

$(\frac{b^6}{a^3})^2 = \frac{(b^6)^2}{(a^3)^2} = \frac{b^{12}}{a^6}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a^8}{b^{10}} \cdot \frac{b^{12}}{a^6} : (ab)$

Сначала выполним умножение дробей:

$\frac{a^8}{b^{10}} \cdot \frac{b^{12}}{a^6} = \frac{a^8 b^{12}}{b^{10} a^6} = a^{8-6} b^{12-10} = a^2b^2$

Далее выполним деление на $(ab)$:

$(a^2b^2) : (ab) = \frac{a^2b^2}{ab} = a^{2-1}b^{2-1} = ab$

Теперь подставим заданные значения $a = -\frac{1}{3}$ и $b = -3$ в упрощенное выражение $ab$.

$ab = (-\frac{1}{3}) \cdot (-3) = 1$

Ответ: $1$.