Номер 5.7, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите (5.7–5.8):

5.7. 1) $\frac{(a \cdot b)^3}{b^2}$;

2) $\left(\frac{x}{y}\right)^5 \cdot y^7$;

3) $\frac{(d \cdot t)^9}{d^7}$;

4) $\frac{(x \cdot y)^6}{x^5}$;

5) $\frac{(a \cdot c)^{10}}{c^8}$;

6) $m^{12} \cdot \left(\frac{n}{m}\right)^{10}$.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{(a \cdot b)^3}{b^2} $, сначала применим свойство степени произведения $ (xy)^n = x^n y^n $ к числителю:
$ (a \cdot b)^3 = a^3 \cdot b^3 $.
Получим дробь: $ \frac{a^3 b^3}{b^2} $.
Теперь применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ для переменной $b$:
$ \frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b $.
В итоге выражение упрощается до $ a^3 b $.
Ответ: $ a^3b $

2) Рассмотрим выражение $ (\frac{x}{y})^5 \cdot y^7 $. Сначала применим свойство степени частного $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $:
$ (\frac{x}{y})^5 = \frac{x^5}{y^5} $.
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{x^5}{y^5} \cdot y^7 = \frac{x^5 y^7}{y^5} $.
Теперь сократим степени $y$, используя правило $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ \frac{y^7}{y^5} = y^{7-5} = y^2 $.
В результате получаем $ x^5 y^2 $.
Ответ: $ x^5y^2 $

3) Упростим выражение $ \frac{(d \cdot t)^9}{d^7} $. Раскроем скобки в числителе по правилу степени произведения $ (xy)^n = x^n y^n $:
$ (d \cdot t)^9 = d^9 \cdot t^9 $.
Выражение примет вид: $ \frac{d^9 t^9}{d^7} $.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ для переменной $d$:
$ \frac{d^9}{d^7} = d^{9-7} = d^2 $.
Итоговый вид выражения: $ d^2 t^9 $.
Ответ: $ d^2t^9 $

4) Для упрощения выражения $ \frac{(x \cdot y)^6}{x^5} $ сначала раскроем скобки в числителе, используя свойство $ (xy)^n = x^n y^n $:
$ (x \cdot y)^6 = x^6 \cdot y^6 $.
Получаем: $ \frac{x^6 y^6}{x^5} $.
Теперь разделим степени с основанием $x$ по правилу $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ \frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x^1 = x $.
Окончательное выражение: $ x y^6 $.
Ответ: $ xy^6 $

5) Упростим $ \frac{(a \cdot c)^{10}}{c^8} $. Применим свойство степени произведения $ (xy)^n = x^n y^n $ к числителю:
$ (a \cdot c)^{10} = a^{10} \cdot c^{10} $.
Подставим в дробь: $ \frac{a^{10} c^{10}}{c^8} $.
Сократим степени переменной $c$ по правилу $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ \frac{c^{10}}{c^8} = c^{10-8} = c^2 $.
В итоге получаем $ a^{10} c^2 $.
Ответ: $ a^{10}c^2 $

6) Рассмотрим выражение $ m^{12} \cdot (\frac{n}{m})^{10} $. Применим свойство степени частного $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $ ко второму множителю:
$ (\frac{n}{m})^{10} = \frac{n^{10}}{m^{10}} $.
Теперь выражение выглядит так: $ m^{12} \cdot \frac{n^{10}}{m^{10}} = \frac{m^{12} n^{10}}{m^{10}} $.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ для переменной $m$:
$ \frac{m^{12}}{m^{10}} = m^{12-10} = m^2 $.
Окончательный результат: $ m^2 n^{10} $.
Ответ: $ m^2n^{10} $