Номер 5.10, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.10. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot (2^5)^3 \cdot 3^7 : (2^{10} \cdot 3)^2 = 1;$

2) $(7^2)^8 \cdot (6^3)^4 : (7^4 \cdot 6^3)^4 = 1;$

3) $\left(\frac{4}{5}\right)^6 \cdot (4^3)^3 \cdot 5^8 : (4^7 \cdot 5)^2 = 4;$

4) $(9^4 \cdot 8^3)^5 : (9^{10})^2 : (8^2)^7 = 8.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя свойства степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(\frac{2}{3})^5 \cdot (2^5)^3 \cdot 3^7 : (2^{10} \cdot 3)^2 = \frac{2^5}{3^5} \cdot 2^{5 \cdot 3} \cdot 3^7 : (2^{10 \cdot 2} \cdot 3^2) = \frac{2^5}{3^5} \cdot 2^{15} \cdot 3^7 : (2^{20} \cdot 3^2)$.
Представим выражение в виде дроби и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^5 \cdot 2^{15} \cdot 3^7}{3^5 \cdot 2^{20} \cdot 3^2} = \frac{2^{5+15} \cdot 3^7}{3^{5+2} \cdot 2^{20}} = \frac{2^{20} \cdot 3^7}{3^7 \cdot 2^{20}} = 2^{20-20} \cdot 3^{7-7} = 2^0 \cdot 3^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
Так как левая часть равна $1$, тождество $1=1$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть выражения, применяя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.
$(7^2)^8 \cdot (6^3)^4 : (7^4 \cdot 6^3)^4 = 7^{2 \cdot 8} \cdot 6^{3 \cdot 4} : (7^{4 \cdot 4} \cdot 6^{3 \cdot 4}) = 7^{16} \cdot 6^{12} : (7^{16} \cdot 6^{12})$.
Деление выражения на само себя дает в результате $1$:
$\frac{7^{16} \cdot 6^{12}}{7^{16} \cdot 6^{12}} = 1$.
Так как левая часть равна $1$, тождество $1=1$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства степеней.
$(\frac{4}{5})^6 \cdot (4^3)^3 \cdot 5^8 : (4^7 \cdot 5)^2 = \frac{4^6}{5^6} \cdot 4^{3 \cdot 3} \cdot 5^8 : (4^{7 \cdot 2} \cdot 5^2) = \frac{4^6}{5^6} \cdot 4^9 \cdot 5^8 : (4^{14} \cdot 5^2)$.
Представим в виде дроби и сгруппируем основания:
$\frac{4^6 \cdot 4^9 \cdot 5^8}{5^6 \cdot 4^{14} \cdot 5^2} = \frac{4^{6+9} \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^{6+2}} = \frac{4^{15} \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^8} = 4^{15-14} \cdot 5^{8-8} = 4^1 \cdot 5^0 = 4 \cdot 1 = 4$.
Так как левая часть равна $4$, тождество $4=4$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства степеней.
$(9^4 \cdot 8^3)^5 : (9^{10})^2 : (8^2)^7 = (9^{4 \cdot 5} \cdot 8^{3 \cdot 5}) : 9^{10 \cdot 2} : 8^{2 \cdot 7} = (9^{20} \cdot 8^{15}) : 9^{20} : 8^{14}$.
Выполняя деление последовательно (слева направо), получаем:
$\frac{9^{20} \cdot 8^{15}}{9^{20} \cdot 8^{14}} = (\frac{9^{20}}{9^{20}}) \cdot (\frac{8^{15}}{8^{14}}) = 9^{20-20} \cdot 8^{15-14} = 9^0 \cdot 8^1 = 1 \cdot 8 = 8$.
Так как левая часть равна $8$, тождество $8=8$ является верным.
Ответ: тождество доказано.