Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.4. Запишите в стандартном виде число, встречающееся в предложении:

1) диаметр головки английской булавки равен $0,001$ м;

2) диаметр атома водорода равен $0,000\,000\,000\,003$ м;

3) площадь Мирового океана равна $361\,000\,000$ км$^2$;

4) площадь озера Балкаш равна $22\,000$ км$^2$;

5) площадь Каспийского моря равна $370\,000$ км$^2$;

6) при ударе на клавишу компьютера тратится энергия в $0,1$ Дж;

7) при взмахе крылом пчела затрачивает энергию в $0,0009$ Дж.

1) Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число из предложения — 0,001 м. Чтобы записать его в стандартном виде, нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени 10. Перенесем запятую вправо на 3 знака, чтобы получить число 1. Так как мы перенесли запятую на 3 знака вправо, показатель степени $n$ будет равен -3. Таким образом, $0,001 = 1 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $1 \cdot 10^{-3}$ м.

2) Число из предложения — 0,000 000 000 003 м. Чтобы получить коэффициент $a$ (где $1 \le a < 10$), перенесем запятую вправо до первой значащей цифры. В данном случае это цифра 3. Запятую нужно перенести на 12 позиций вправо. Следовательно, показатель степени $n$ будет равен -12. Получаем $0,000000000003 = 3 \cdot 10^{-12}$.
Ответ: $3 \cdot 10^{-12}$ м.

3) Число из предложения — 361 000 000 км². Чтобы записать его в стандартном виде, нужно поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после 3. Получим 3,61. Чтобы из 3,61 получить исходное число, нужно перенести запятую на 8 знаков вправо. Значит, показатель степени $n$ будет равен 8. Таким образом, $361 000 000 = 3,61 \cdot 10^8$.
Ответ: $3,61 \cdot 10^8$ км².

4) Число из предложения — 22 000 км². Для приведения к стандартному виду поставим запятую после первой цифры, то есть после 2. Получим 2,2. Исходное число 22 000 получается из 2,2 путем переноса запятой на 4 знака вправо. Значит, показатель степени $n$ равен 4. Таким образом, $22 000 = 2,2 \cdot 10^4$.
Ответ: $2,2 \cdot 10^4$ км².

5) Число из предложения — 370 000 км². Поставим запятую после первой цифры (3), чтобы получить коэффициент $a = 3,7$. Чтобы из 3,7 получить 370 000, нужно перенести запятую на 5 знаков вправо. Следовательно, показатель степени $n$ равен 5. Таким образом, $370 000 = 3,7 \cdot 10^5$.
Ответ: $3,7 \cdot 10^5$ км².

6) Число из предложения — 0,1 Дж. Перенесем запятую на 1 знак вправо, чтобы получить коэффициент $a = 1$. Так как мы перенесли запятую на 1 знак вправо, показатель степени $n$ будет равен -1. Таким образом, $0,1 = 1 \cdot 10^{-1}$.
Ответ: $1 \cdot 10^{-1}$ Дж.

7) Число из предложения — 0,0009 Дж. Чтобы получить коэффициент $a$, перенесем запятую на 4 знака вправо, получим число 9. Поскольку перенос был на 4 знака вправо, показатель степени $n$ будет равен -4. Таким образом, $0,0009 = 9 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $9 \cdot 10^{-4}$ Дж.

8.5. Запишите в стандартном виде числа, встречающиеся в тексте:

«Казахстан занимает площадь, равную $2\ 724\ 900$ км$^2$. На востоке, севере и северо-западе Казахстан граничит с Россией (протяженность границы — $6467$ км), на юге — с государствами Центральной Азии: Узбекистаном ($2300$ км), Кыргызстаном ($980$ км) и Туркменистаном ($380$ км), а на юго-востоке — с Китаем ($1460$ км). Общая протяженность границ Казахстана составляет почти $12\ 200$ км, в том числе $600$ км — по Каспийскому морю (на западе). Общая протяженность железных дорог составляет $14,5$ тыс. км, автомобильных — $87,4$ тыс. км».

Площадь Казахстана: $2~724~900~км^2$.
Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Чтобы представить число $2~724~900$ в стандартном виде, необходимо перенести запятую влево на 6 позиций, чтобы получить число $a=2,7249$, которое находится в диапазоне от 1 до 10. Количество позиций, на которое была сдвинута запятая, является показателем степени $n$. Таким образом, $n=6$.
Ответ: $2,7249 \cdot 10^6~км^2$.

Протяженность границы с Россией: $6467~км$.
Переносим запятую на 3 знака влево, чтобы получить $a=6,467$. Следовательно, $n=3$.
Ответ: $6,467 \cdot 10^3~км$.

Протяженность границы с Узбекистаном: $2300~км$.
Переносим запятую на 3 знака влево, чтобы получить $a=2,3$. Следовательно, $n=3$.
Ответ: $2,3 \cdot 10^3~км$.

Протяженность границы с Кыргызстаном: $980~км$.
Переносим запятую на 2 знака влево, чтобы получить $a=9,8$. Следовательно, $n=2$.
Ответ: $9,8 \cdot 10^2~км$.

Протяженность границы с Туркменистаном: $380~км$.
Переносим запятую на 2 знака влево, чтобы получить $a=3,8$. Следовательно, $n=2$.
Ответ: $3,8 \cdot 10^2~км$.

Протяженность границы с Китаем: $1460~км$.
Переносим запятую на 3 знака влево, чтобы получить $a=1,46$. Следовательно, $n=3$.
Ответ: $1,46 \cdot 10^3~км$.

Общая протяженность границ: $12~200~км$.
Переносим запятую на 4 знака влево, чтобы получить $a=1,22$. Следовательно, $n=4$.
Ответ: $1,22 \cdot 10^4~км$.

Протяженность границы по Каспийскому морю: $600~км$.
Переносим запятую на 2 знака влево, чтобы получить $a=6$. Следовательно, $n=2$.
Ответ: $6 \cdot 10^2~км$.

Протяженность железных дорог: $14,5~тыс.~км$.
Сначала представим число в десятичной форме: $14,5~тыс. = 14,5 \cdot 1000 = 14~500$. Теперь запишем в стандартном виде. Переносим запятую на 4 знака влево, чтобы получить $a=1,45$. Следовательно, $n=4$.
Ответ: $1,45 \cdot 10^4~км$.

Протяженность автомобильных дорог: $87,4~тыс.~км$.
Сначала представим число в десятичной форме: $87,4~тыс. = 87,4 \cdot 1000 = 87~400$. Теперь запишем в стандартном виде. Переносим запятую на 4 знака влево, чтобы получить $a=8,74$. Следовательно, $n=4$.
Ответ: $8,74 \cdot 10^4~км$.

8.6. Объясните запись:

1) $a = 4,7 \pm 0,2;$

2) $a = 43,74 \pm 0,05;$

3) $a = -2 \frac{3}{4} \pm \frac{3}{5};$

4) $a = -3 \frac{3}{5} \pm \frac{1}{10};$

5) $a = 7,90 \pm 0,12;$

6) $a = -3,45 \pm 0,15;$

7) $a = -47 \pm 2;$

8) $a = 0,97 \pm 0,01.$

Запись вида $a = x \pm h$ используется для обозначения приближенных значений. Она означает, что $x$ является приближенным значением величины $a$, а $h$ — это максимальная абсолютная погрешность данного приближения. Иными словами, точное значение $a$ находится в промежутке от $x-h$ до $x+h$, что записывается в виде двойного неравенства $x - h \le a \le x + h$.

1) a = 4,7 ± 0,2;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $4,7$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $0,2$. Это равносильно тому, что значение $a$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством: $4,7 - 0,2 \le a \le 4,7 + 0,2$. Вычислив границы этого интервала, получаем: $4,5 \le a \le 4,9$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ принадлежит промежутку $[4,5; 4,9]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $4,5 \le a \le 4,9$.

2) a = 43,74 ± 0,05;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $43,74$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $0,05$. Следовательно, точное значение $a$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством: $43,74 - 0,05 \le a \le 43,74 + 0,05$. Вычислив границы этого интервала, получаем: $43,69 \le a \le 43,79$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ принадлежит промежутку $[43,69; 43,79]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $43,69 \le a \le 43,79$.

3) a = -2 3/4 ± 3/5;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $-2\frac{3}{4}$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $\frac{3}{5}$. Это можно представить в виде двойного неравенства: $-2\frac{3}{4} - \frac{3}{5} \le a \le -2\frac{3}{4} + \frac{3}{5}$. Для вычисления границ приведем дроби к общему знаменателю $20$: $-2\frac{3}{4} = -2\frac{15}{20}$ и $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$.

Нижняя граница: $-2\frac{15}{20} - \frac{12}{20} = -2\frac{27}{20} = -3\frac{7}{20}$.

Верхняя граница: $-2\frac{15}{20} + \frac{12}{20} = -2\frac{3}{20}$.

Таким образом, $-3\frac{7}{20} \le a \le -2\frac{3}{20}$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ удовлетворяет двойному неравенству $-3\frac{7}{20} \le a \le -2\frac{3}{20}$.

4) a = -3 3/5 ± 1/10;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $-3\frac{3}{5}$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $\frac{1}{10}$. Это можно представить в виде двойного неравенства: $-3\frac{3}{5} - \frac{1}{10} \le a \le -3\frac{3}{5} + \frac{1}{10}$. Для вычисления границ приведем дроби к общему знаменателю $10$: $-3\frac{3}{5} = -3\frac{6}{10}$.

Нижняя граница: $-3\frac{6}{10} - \frac{1}{10} = -3\frac{7}{10}$.

Верхняя граница: $-3\frac{6}{10} + \frac{1}{10} = -3\frac{5}{10} = -3\frac{1}{2}$.

Таким образом, $-3\frac{7}{10} \le a \le -3\frac{1}{2}$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ удовлетворяет двойному неравенству $-3\frac{7}{10} \le a \le -3\frac{1}{2}$.

5) a = 7,90 ± 0,12;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $7,90$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $0,12$. Следовательно, точное значение $a$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством: $7,90 - 0,12 \le a \le 7,90 + 0,12$. Вычислив границы этого интервала, получаем: $7,78 \le a \le 8,02$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ принадлежит промежутку $[7,78; 8,02]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $7,78 \le a \le 8,02$.

6) a = -3,45 ± 0,15;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $-3,45$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $0,15$. Это означает, что точное значение $a$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством: $-3,45 - 0,15 \le a \le -3,45 + 0,15$. Вычислив границы этого интервала, получаем: $-3,60 \le a \le -3,30$, что можно записать как $-3,6 \le a \le -3,3$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ принадлежит промежутку $[-3,6; -3,3]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $-3,6 \le a \le -3,3$.

7) a = -47 ± 2;

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $-47$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $2$. Следовательно, точное значение $a$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством: $-47 - 2 \le a \le -47 + 2$. Вычислив границы этого интервала, получаем: $-49 \le a \le -45$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ принадлежит промежутку $[-49; -45]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $-49 \le a \le -45$.

8) a = 0,97 ± 0,01.

Эта запись означает, что приближенным значением числа $a$ является $0,97$, а абсолютная погрешность этого приближения не превосходит $0,01$. Это означает, что точное значение $a$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством: $0,97 - 0,01 \le a \le 0,97 + 0,01$. Вычислив границы этого интервала, получаем: $0,96 \le a \le 0,98$.

Ответ: Данная запись означает, что значение $a$ принадлежит промежутку $[0,96; 0,98]$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $0,96 \le a \le 0,98$.

8.7.Запишите в виде двойного неравенства равенство:

1) $x = 43,32 \pm 0,05$;

2) $y = -513,2 \pm 0,05$;

3) $n = 433 \pm 0,1$;

4) $x = 43,2 \pm 0,25$.

Запись вида $a \pm h$ означает, что некоторое значение находится в интервале от $a - h$ до $a + h$. Это можно представить в виде двойного неравенства $a - h \le x \le a + h$.

1) Для равенства $x = 43,32 \pm 0,05$ имеем:
Нижняя граница: $43,32 - 0,05 = 43,27$.
Верхняя граница: $43,32 + 0,05 = 43,37$.
Таким образом, получаем двойное неравенство: $43,27 \le x \le 43,37$.
Ответ: $43,27 \le x \le 43,37$.

2) Для равенства $y = -513,2 \pm 0,05$ имеем:
Нижняя граница: $-513,2 - 0,05 = -513,25$.
Верхняя граница: $-513,2 + 0,05 = -513,15$.
Таким образом, получаем двойное неравенство: $-513,25 \le y \le -513,15$.
Ответ: $-513,25 \le y \le -513,15$.

3) Для равенства $n = 433 \pm 0,1$ имеем:
Нижняя граница: $433 - 0,1 = 432,9$.
Верхняя граница: $433 + 0,1 = 433,1$.
Таким образом, получаем двойное неравенство: $432,9 \le n \le 433,1$.
Ответ: $432,9 \le n \le 433,1$.

4) Для равенства $x = 43,2 \pm 0,25$ имеем:
Нижняя граница: $43,2 - 0,25 = 42,95$.
Верхняя граница: $43,2 + 0,25 = 43,45$.
Таким образом, получаем двойное неравенство: $42,95 \le x \le 43,45$.
Ответ: $42,95 \le x \le 43,45$.

8.8. Найдите абсолютную погрешность приближенного значения числа x, все цифры которого верные:

1) $x \approx 2,74;$

2) $x \approx 35,274;$

3) $x \approx -4,004;$

4) $x \approx 0,740;$

5) $x \approx -8,7040;$

6) $x \approx 0,07.$

Если в приближенном значении числа все цифры верные, то абсолютная погрешность этого значения принимается равной половине единицы разряда, соответствующего последней верной цифре. То есть, если последняя верная цифра стоит в разряде с "весом" $h$, то абсолютная погрешность $\Delta$ равна $0,5 \cdot h$. Найдем абсолютную погрешность для каждого случая.

1) В числе $x \approx 2,74$ последняя верная цифра ($4$) находится в разряде сотых. Вес этого разряда $h = 0,01$.
Абсолютная погрешность равна: $0,5 \cdot 0,01 = 0,005$.
Ответ: $0,005$.

2) В числе $x \approx 35,274$ последняя верная цифра ($4$) находится в разряде тысячных. Вес этого разряда $h = 0,001$.
Абсолютная погрешность равна: $0,5 \cdot 0,001 = 0,0005$.
Ответ: $0,0005$.

3) В числе $x \approx -4,004$ последняя верная цифра ($4$) находится в разряде тысячных. Вес этого разряда $h = 0,001$.
Абсолютная погрешность равна: $0,5 \cdot 0,001 = 0,0005$.
Ответ: $0,0005$.

4) В числе $x \approx 0,740$ последняя верная цифра ($0$) находится в разряде тысячных. Ноль в конце десятичной дроби является значащей цифрой, указывающей на точность. Вес этого разряда $h = 0,001$.
Абсолютная погрешность равна: $0,5 \cdot 0,001 = 0,0005$.
Ответ: $0,0005$.

5) В числе $x \approx -8,7040$ последняя верная цифра ($0$) находится в разряде десятитысячных. Вес этого разряда $h = 0,0001$.
Абсолютная погрешность равна: $0,5 \cdot 0,0001 = 0,00005$.
Ответ: $0,00005$.

6) В числе $x \approx 0,07$ последняя верная цифра ($7$) находится в разряде сотых. Вес этого разряда $h = 0,01$.
Абсолютная погрешность равна: $0,5 \cdot 0,01 = 0,005$.
Ответ: $0,005$.

8.9. Масса атома водорода равна 0,000 000 000 000 000 000 000 167 г, масса Земли равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т. Запишите в стандартном виде массу атома водорода и массу Земли.

Масса атома водорода
Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.
Дана масса атома водорода: 0,000 000 000 000 000 000 000 167 г.
Чтобы записать это число в стандартном виде, выполним следующие шаги:
1. Определим мантиссу $a$. Для этого переместим десятичную запятую вправо так, чтобы слева от нее осталась только одна ненулевая цифра. В данном случае это цифра 1. Получаем число 1,67. Таким образом, $a = 1,67$.
2. Определим показатель степени $n$. Для этого посчитаем, на сколько позиций мы сдвинули запятую. Мы сдвинули ее на 24 позиции вправо. Так как исходное число меньше единицы, показатель степени будет отрицательным. Следовательно, $n = -24$.
3. Запишем массу в стандартном виде, объединив мантиссу и степень десяти: $1,67 \cdot 10^{-24}$ г.
Ответ: $1,67 \cdot 10^{-24}$ г.

Масса Земли
Дана масса Земли: 6 000 000 000 000 000 000 000 т.
Чтобы записать это число в стандартном виде, выполним следующие шаги:
1. Определим мантиссу $a$. Для этого представим число так, чтобы оно было в диапазоне от 1 до 10. В данном случае это 6. Таким образом, $a = 6$.
2. Определим показатель степени $n$. Посчитаем количество позиций, на которое нужно сдвинуть запятую влево от конца числа, чтобы получить 6. Это количество равно числу нулей после шестерки, то есть 21. Так как исходное число больше десяти, показатель степени будет положительным. Следовательно, $n = 21$.
3. Запишем массу в стандартном виде: $6 \cdot 10^{21}$ т.
Ответ: $6 \cdot 10^{21}$ т.

8.10. Найдите абсолютную и относительную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления числа:

1) 12,4 до единиц;

2) 5,65 до десятых;

3) 876 до десятков;

4) 7,3346 до тысячных.

1) Дано число $x = 12,4$. Округление до единиц дает приближенное значение $a = 12$.
Абсолютная погрешность – это модуль разности между точным и приближенным значениями:$\Delta = |x - a| = |12,4 - 12| = 0,4$.
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения:$\varepsilon = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,4}{|12,4|} = \frac{0,4}{12,4} = \frac{4}{124} = \frac{1}{31}$.
Ответ: абсолютная погрешность $0,4$; относительная погрешность $\frac{1}{31}$.

2) Дано число $x = 5,65$. Округление до десятых дает приближенное значение $a = 5,7$.
Абсолютная погрешность:$\Delta = |x - a| = |5,65 - 5,7| = |-0,05| = 0,05$.
Относительная погрешность:$\varepsilon = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,05}{|5,65|} = \frac{0,05}{5,65} = \frac{5}{565} = \frac{1}{113}$.
Ответ: абсолютная погрешность $0,05$; относительная погрешность $\frac{1}{113}$.

3) Дано число $x = 876$. Округление до десятков дает приближенное значение $a = 880$.
Абсолютная погрешность:$\Delta = |x - a| = |876 - 880| = |-4| = 4$.
Относительная погрешность:$\varepsilon = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{4}{|876|} = \frac{4}{876} = \frac{1}{219}$.
Ответ: абсолютная погрешность $4$; относительная погрешность $\frac{1}{219}$.

4) Дано число $x = 7,3346$. Округление до тысячных дает приближенное значение $a = 7,335$.
Абсолютная погрешность:$\Delta = |x - a| = |7,3346 - 7,335| = |-0,0004| = 0,0004$.
Относительная погрешность:$\varepsilon = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,0004}{|7,3346|} = \frac{0,0004}{7,3346} = \frac{4}{73346} = \frac{2}{36673}$.
Ответ: абсолютная погрешность $0,0004$; относительная погрешность $\frac{2}{36673}$.