Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.17. Масса Земли $5,98 \cdot 10^{24}$ кг, масса Юпитера — $1,90 \cdot 10^{27}$ кг. Что больше: масса Земли или масса Юпитера и во сколько раз?

Что больше: масса Земли или масса Юпитера?
Для ответа на этот вопрос сравним массы Земли и Юпитера, записанные в стандартном виде.
Масса Земли: $M_З = 5,98 \cdot 10^{24}$ кг.
Масса Юпитера: $M_Ю = 1,90 \cdot 10^{27}$ кг.
Чтобы сравнить два числа в стандартном виде ($a \cdot 10^n$), необходимо сначала сравнить их порядки, то есть показатели степени $n$.
Для массы Юпитера показатель степени равен 27, а для массы Земли — 24.
Поскольку $27 > 24$, то и число $1,90 \cdot 10^{27}$ больше числа $5,98 \cdot 10^{24}$.
Следовательно, масса Юпитера больше массы Земли.

...и во сколько раз?
Чтобы определить, во сколько раз масса Юпитера больше массы Земли, нужно найти их отношение, разделив массу Юпитера на массу Земли:
$\frac{M_Ю}{M_З} = \frac{1,90 \cdot 10^{27}}{5,98 \cdot 10^{24}}$
Выполним вычисление, разделив отдельно мантиссы (числа перед степенью) и степени с основанием 10:
$\frac{M_Ю}{M_З} = \left(\frac{1,90}{5,98}\right) \cdot \left(\frac{10^{27}}{10^{24}}\right)$
Вычислим каждую часть:
$\frac{10^{27}}{10^{24}} = 10^{27-24} = 10^3 = 1000$
$\frac{1,90}{5,98} \approx 0,3177$
Теперь перемножим полученные результаты:
$0,3177 \cdot 1000 = 317,7$
Исходные данные (1,90 и 5,98) имеют по три значащие цифры. Поэтому округлим полученный результат до трех значащих цифр.
$317,7 \approx 318$.
Ответ: Масса Юпитера больше массы Земли примерно в 318 раз.

8.18. Запишите в стандартном виде значение выражения:

1) $(7,5 \cdot 10^4) \cdot (2,4 \cdot 10^{-1});$

2) $(4,3 \cdot 10^4) \cdot (3,7 \cdot 10^{-3});$

3) $(3,4 \cdot 10^4) \cdot (5,4 \cdot 10^{-2})^2;$

4) $(5,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (2,4 \cdot 10^2)^3.$

1) Чтобы найти значение выражения $(7,5 \cdot 10^4) \cdot (2,4 \cdot 10^{-1})$, сгруппируем множители: десятичные дроби с десятичными дробями, а степени с основанием 10 со степенями.
$(7,5 \cdot 2,4) \cdot (10^4 \cdot 10^{-1})$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$7,5 \cdot 2,4 = 18$
Вычислим произведение степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^4 \cdot 10^{-1} = 10^{4+(-1)} = 10^3$
Результат равен $18 \cdot 10^3$.
Стандартный вид числа требует, чтобы мантисса (первый множитель) была в пределах от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Преобразуем 18 в стандартный вид: $18 = 1,8 \cdot 10^1$.
Подставим это значение в выражение:
$(1,8 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 1,8 \cdot 10^{1+3} = 1,8 \cdot 10^4$.
Ответ: $1,8 \cdot 10^4$.

2) Для выражения $(4,3 \cdot 10^4) \cdot (3,7 \cdot 10^{-3})$ применим тот же подход.
Сгруппируем множители:
$(4,3 \cdot 3,7) \cdot (10^4 \cdot 10^{-3})$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$4,3 \cdot 3,7 = 15,91$
Вычислим произведение степеней:
$10^4 \cdot 10^{-3} = 10^{4-3} = 10^1$
Получаем $15,91 \cdot 10^1$.
Приведем число к стандартному виду. Мантисса 15,91 больше 10, поэтому преобразуем ее: $15,91 = 1,591 \cdot 10^1$.
Подставим в выражение:
$(1,591 \cdot 10^1) \cdot 10^1 = 1,591 \cdot 10^{1+1} = 1,591 \cdot 10^2$.
Ответ: $1,591 \cdot 10^2$.

3) В выражении $(3,4 \cdot 10^4) \cdot (5,4 \cdot 10^{-2})^2$ сначала возведем второй множитель в квадрат.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(5,4 \cdot 10^{-2})^2 = (5,4)^2 \cdot (10^{-2})^2$
Вычислим $(5,4)^2$:
$5,4^2 = 29,16$
Вычислим $(10^{-2})^2$ используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(10^{-2})^2 = 10^{-2 \cdot 2} = 10^{-4}$
Таким образом, $(5,4 \cdot 10^{-2})^2 = 29,16 \cdot 10^{-4}$.
Теперь перемножим результат с первым множителем:
$(3,4 \cdot 10^4) \cdot (29,16 \cdot 10^{-4}) = (3,4 \cdot 29,16) \cdot (10^4 \cdot 10^{-4})$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$3,4 \cdot 29,16 = 99,144$
Вычислим произведение степеней:
$10^4 \cdot 10^{-4} = 10^{4-4} = 10^0 = 1$
Результат умножения: $99,144 \cdot 1 = 99,144$.
Приведем к стандартному виду: $99,144 = 9,9144 \cdot 10^1$.
Ответ: $9,9144 \cdot 10^1$.

4) В выражении $(5,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (2,4 \cdot 10^2)^3$ сначала возведем второй множитель в куб.
$(2,4 \cdot 10^2)^3 = (2,4)^3 \cdot (10^2)^3$
Вычислим $(2,4)^3$:
$2,4^3 = 2,4 \cdot 2,4 \cdot 2,4 = 5,76 \cdot 2,4 = 13,824$
Вычислим $(10^2)^3$:
$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$
Таким образом, $(2,4 \cdot 10^2)^3 = 13,824 \cdot 10^6$.
Теперь выполним умножение:
$(5,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (13,824 \cdot 10^6) = (5,5 \cdot 13,824) \cdot (10^{-3} \cdot 10^6)$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$5,5 \cdot 13,824 = 76,032$
Вычислим произведение степеней:
$10^{-3} \cdot 10^6 = 10^{-3+6} = 10^3$
Результат умножения: $76,032 \cdot 10^3$.
Приведем к стандартному виду. $76,032 = 7,6032 \cdot 10^1$.
$(7,6032 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 7,6032 \cdot 10^{1+3} = 7,6032 \cdot 10^4$.
Ответ: $7,6032 \cdot 10^4$.

8.19. Вычислите:

1) $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9};$

2) $100^2 \cdot 5^2 : 2^3;$

3) $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}.$

1) Решим выражение $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$ по действиям, соблюдая порядок операций.

Сначала вычислим значения степеней:
$183^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Подставим эти значения в выражение:
$1 \cdot 125 : 9 + \frac{2}{9}$.

Теперь выполним умножение и деление слева направо:
$1 \cdot 125 = 125$.
Получаем: $125 : 9 + \frac{2}{9}$.
Представим деление в виде дроби: $\frac{125}{9}$.

И, наконец, выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{125+2}{9} = \frac{127}{9}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $127 \div 9 = 14$ с остатком 1, поэтому $\frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.
Ответ: $14\frac{1}{9}$.

2) Рассмотрим выражение $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$.

Для упрощения вычислений воспользуемся свойствами степеней. Представим число 100 в виде произведения простых множителей: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Подставим это в исходное выражение:
$(2^2 \cdot 5^2)^2 \cdot 5^2 : 2^3$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(2^{2\cdot2} \cdot 5^{2\cdot2}) \cdot 5^2 : 2^3 = 2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^2 : 2^3$.

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и деления $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$2^4 \cdot 5^{4+2} : 2^3 = 2^4 \cdot 5^6 : 2^3 = 2^{4-3} \cdot 5^6 = 2^1 \cdot 5^6$.

Осталось вычислить результат:
$2 \cdot 5^6 = 2 \cdot (5^3 \cdot 5^3) = 2 \cdot (125 \cdot 125) = 2 \cdot 15625 = 31250$.
Ответ: $31250$.

3) Решим выражение $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}$.

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.
В числителе: $155^0 = 1$ и $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$.
В знаменателе: $8 = 2^3$.

Перепишем дробь с учетом этих преобразований:
$\frac{1 \cdot 3^2 \cdot 2^4}{2^3 \cdot 3^3} = \frac{3^2 \cdot 2^4}{3^3 \cdot 2^3}$.

Теперь сократим дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{3^2}{3^3} = 2^{4-3} \cdot 3^{2-3} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

8.20. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной $x$:

1) $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$;

2) $\frac{x^5}{x^4} - x + 3.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Исходное выражение: $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$.
Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x^4 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$. Для этого же условия определено и выражение $x^0$.
Применим свойства степеней для $x \neq 0$:
1. Частное $\frac{x^4}{x^4}$ равно 1, так как числитель и знаменатель равны и не равны нулю.
2. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $x^0 = 1$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$.
В результате упрощения мы получили число 3, которое является константой и не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 3.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Исходное выражение: $\frac{x^5}{x^4} - x + 3$.
Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x^4 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$.
Упростим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x^1 = x$.
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$x - x + 3$.
Выполним вычитание:
$0 + 3 = 3$.
В результате упрощения мы получили число 3, которое является константой и не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 3.