Номер 11.16, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.16. Докажите, что равны значения многочленов:

1)

$11\frac{1}{9}ab^2 - 18\frac{2}{3}ab^2 + 5\frac{1}{6}ab^2 + \frac{8}{9}ab^2 + 26,6$ и $47,8a^2b - 6,3a^2b - 40,5a^2b - \frac{6}{7}a^2b$

при $a = 0,7, b = 5$;

2)

$2,2c^3d^2 - 2\frac{1}{3}c^3d^2 + \frac{7}{15}c^3d^2$ и $2\frac{2}{9}c^4d - 2,5c^4d + \frac{1}{18}c^4d$

при $c = 3, d = -2$.

1)

Чтобы доказать, что значения многочленов равны при заданных $a=0,7$ и $b=5$, мы сначала упростим каждый многочлен, а затем подставим в них значения переменных.

Упростим первый многочлен: $11\frac{1}{9}ab^2 - 18\frac{2}{3}ab^2 + 5\frac{1}{6}ab^2 + \frac{8}{9}ab^2 + 26,6$.

Все слагаемые, кроме последнего, являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(11\frac{1}{9} - 18\frac{2}{3} + 5\frac{1}{6} + \frac{8}{9})ab^2 + 26,6$.

Для вычисления суммы коэффициентов переведем смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:

$11\frac{1}{9} = \frac{100}{9}$; $18\frac{2}{3} = \frac{56}{3}$; $5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}$.

Сумма коэффициентов равна: $\frac{100}{9} - \frac{56}{3} + \frac{31}{6} + \frac{8}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{100 \cdot 2}{18} - \frac{56 \cdot 6}{18} + \frac{31 \cdot 3}{18} + \frac{8 \cdot 2}{18} = \frac{200 - 336 + 93 + 16}{18} = \frac{309 - 336}{18} = \frac{-27}{18} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Таким образом, первый многочлен упрощается до вида: $-1,5ab^2 + 26,6$.

Теперь подставим значения $a = 0,7$ и $b = 5$:

$-1,5 \cdot (0,7) \cdot 5^2 + 26,6 = -1,5 \cdot 0,7 \cdot 25 + 26,6 = -26,25 + 26,6 = 0,35$.

Теперь упростим второй многочлен: $47,8a^2b - 6,3a^2b - 40,5a^2b - \frac{6}{7}a^2b$.

Все слагаемые являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(47,8 - 6,3 - 40,5 - \frac{6}{7})a^2b$.

Вычислим сумму десятичных дробей: $47,8 - 6,3 - 40,5 = 41,5 - 40,5 = 1$.

Теперь вычтем дробь: $1 - \frac{6}{7} = \frac{7}{7} - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$.

Таким образом, второй многочлен упрощается до вида: $\frac{1}{7}a^2b$.

Подставим значения $a = 0,7$ и $b = 5$:

$\frac{1}{7} \cdot (0,7)^2 \cdot 5 = \frac{1}{7} \cdot 0,49 \cdot 5 = 0,07 \cdot 5 = 0,35$.

Значения обоих многочленов равны 0,35. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: значения многочленов равны.

2)

Чтобы доказать, что значения многочленов равны при заданных $c=3$ и $d=-2$, мы сначала упростим каждый многочлен, а затем подставим в них значения переменных.

Упростим первый многочлен: $2,2c^3d^2 - 2\frac{1}{3}c^3d^2 + \frac{7}{15}c^3d^2$.

Все слагаемые являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(2,2 - 2\frac{1}{3} + \frac{7}{15})c^3d^2$.

Для вычисления суммы коэффициентов переведем все числа в обыкновенные дроби:

$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Сумма коэффициентов равна: $\frac{11}{5} - \frac{7}{3} + \frac{7}{15}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{11 \cdot 3}{15} - \frac{7 \cdot 5}{15} + \frac{7}{15} = \frac{33 - 35 + 7}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, первый многочлен упрощается до вида: $\frac{1}{3}c^3d^2$.

Теперь подставим значения $c = 3$ и $d = -2$:

$\frac{1}{3} \cdot 3^3 \cdot (-2)^2 = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$.

Теперь упростим второй многочлен: $2\frac{2}{9}c^4d - 2,5c^4d + \frac{1}{18}c^4d$.

Все слагаемые являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(2\frac{2}{9} - 2,5 + \frac{1}{18})c^4d$.

Для вычисления суммы коэффициентов переведем все числа в обыкновенные дроби:

$2\frac{2}{9} = \frac{20}{9}$; $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Сумма коэффициентов равна: $\frac{20}{9} - \frac{5}{2} + \frac{1}{18}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{20 \cdot 2}{18} - \frac{5 \cdot 9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{40 - 45 + 1}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$.

Таким образом, второй многочлен упрощается до вида: $-\frac{2}{9}c^4d$.

Подставим значения $c = 3$ и $d = -2$:

$-\frac{2}{9} \cdot 3^4 \cdot (-2) = -\frac{2}{9} \cdot 81 \cdot (-2) = -2 \cdot 9 \cdot (-2) = 36$.

Значения обоих многочленов равны 36. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: значения многочленов равны.