Вопросы, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнять сложение, вычитание многочленов?

Как нашли разность многочленов: $(21,8y^4 - 17x^2 + 9\frac{1}{7}z - 50)$ и $(22y^4 - 31x^2 + 7\frac{2}{7}z - 49)$?

1. Какие преобразования используют при сложении и вычитании многочленов?

2. Может ли в результате сложения или вычитания многочленов получиться число? Одночлен? Если да, то приведите пример.

3. Назовите многочлен, противоположный многочлену $2x^2 - 7xy + y^2$.

Как выполнять сложение, вычитание многочленов?

Чтобы выполнить сложение или вычитание многочленов, необходимо следовать алгоритму:

1. Записать сумму или разность многочленов, заключив каждый из них в скобки.

2. Раскрыть скобки. Если перед скобками стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «–», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

3. Привести подобные слагаемые (одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть) в полученном многочлене.

4. Записать результат в стандартном виде.

Как нашли разность многочленов: $(21,8y^4 - 17x^2 + 9\frac{1}{7}z - 50)$ и $(22y^4 - 31x^2 + 7\frac{2}{7}z - 49)$?

Чтобы найти разность данных многочленов, нужно из первого многочлена вычесть второй. Выполним это по шагам:

1. Запишем разность, взяв многочлены в скобки:

$(21,8y^4 - 17x^2 + 9\frac{1}{7}z - 50) - (22y^4 - 31x^2 + 7\frac{2}{7}z - 49)$

2. Раскроем скобки. Перед вторыми скобками стоит знак «–», поэтому знаки всех слагаемых внутри них изменятся на противоположные:

$21,8y^4 - 17x^2 + 9\frac{1}{7}z - 50 - 22y^4 + 31x^2 - 7\frac{2}{7}z + 49$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(21,8y^4 - 22y^4) + (-17x^2 + 31x^2) + (9\frac{1}{7}z - 7\frac{2}{7}z) + (-50 + 49)$

4. Выполним вычисления для коэффициентов каждой группы:

$21,8 - 22 = -0,2$

$-17 + 31 = 14$

$9\frac{1}{7} - 7\frac{2}{7} = \frac{64}{7} - \frac{51}{7} = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$

$-50 + 49 = -1$

5. Запишем итоговый многочлен:

$-0,2y^4 + 14x^2 + 1\frac{6}{7}z - 1$

Ответ: разность многочленов нашли, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в результате чего получили многочлен $-0,2y^4 + 14x^2 + 1\frac{6}{7}z - 1$.

1. Какие преобразования используют при сложении и вычитании многочленов?

При сложении и вычитании многочленов используют два основных тождественных преобразования:

1. Раскрытие скобок. Это преобразование позволяет избавиться от скобок, в которые заключены многочлены.

2. Приведение подобных слагаемых. Это преобразование позволяет упростить выражение, полученное после раскрытия скобок, путем сложения или вычитания одночленов с одинаковой буквенной частью.

Ответ: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

2. Может ли в результате сложения или вычитания многочленов получиться число? Одночлен? Если да, то приведите пример.

Да, в результате сложения или вычитания многочленов может получиться как число, так и одночлен.

Пример, когда в результате получается число:

Рассмотрим вычитание многочленов $(5x^2 + 10)$ и $(5x^2 + 3)$.

$(5x^2 + 10) - (5x^2 + 3) = 5x^2 + 10 - 5x^2 - 3 = (5x^2 - 5x^2) + (10 - 3) = 0 + 7 = 7$.

В данном случае все слагаемые, содержащие переменные, взаимно уничтожились, и в результате осталось число.

Пример, когда в результате получается одночлен:

Рассмотрим сложение многочленов $(4a^3 + 2b)$ и $(-5a^3 - 2b)$.

$(4a^3 + 2b) + (-5a^3 - 2b) = 4a^3 + 2b - 5a^3 - 2b = (4a^3 - 5a^3) + (2b - 2b) = -a^3 + 0 = -a^3$.

Здесь в результате всех преобразований остался только один член (одночлен).

Ответ: да, может. Пример для числа: $(x+5) - (x-2) = 7$. Пример для одночлена: $(3a+b) + (2a-b) = 5a$.

3. Назовите многочлен, противоположный многочлену $2x^2 - 7xy + y^2$.

Противоположным многочлену $P$ называется многочлен $-P$, сумма которого с многочленом $P$ равна нулю. Чтобы найти многочлен, противоположный данному, нужно изменить знак каждого его члена на противоположный.

Для многочлена $2x^2 - 7xy + y^2$ противоположным будет:

$-(2x^2 - 7xy + y^2) = -2x^2 + 7xy - y^2$.

Проверим: $(2x^2 - 7xy + y^2) + (-2x^2 + 7xy - y^2) = 2x^2 - 7xy + y^2 - 2x^2 + 7xy - y^2 = 0$.

Ответ: $-2x^2 + 7xy - y^2$.