Номер 13.17, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.17. Докажите тождество:

1) $b(b - 4) + (b - 8)(b + 9) - 2(b - 3)^2 = 9b - 90;$

2) $(c + 2)^2 - (c - 4)(3 - c) - 0,5(4c^2 - 1) = 16,5 - 3c;$

3) $(d - 4)(d^2 + d + 1) - d(d^2 - 3) = -3d^2 - 4;$

4) $(k + 7)(k - 6) - 2(k - 2)^2 + (k - 3)^2 = 3k - 41.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть $b(b-4) + (b-8)(b+9) - 2(b-3)^2$ и сравним с правой частью $9b - 90$.

Последовательно раскроем скобки:

$b(b-4) = b^2 - 4b$

$(b-8)(b+9) = b^2 + 9b - 8b - 72 = b^2 + b - 72$

$2(b-3)^2 = 2(b^2 - 6b + 9) = 2b^2 - 12b + 18$

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$(b^2 - 4b) + (b^2 + b - 72) - (2b^2 - 12b + 18)$

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$b^2 - 4b + b^2 + b - 72 - 2b^2 + 12b - 18 = (b^2 + b^2 - 2b^2) + (-4b + b + 12b) + (-72 - 18) = 9b - 90$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна $9b - 90$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества $(c+2)^2 - (c-4)(3-c) - 0.5(4c^2 - 1)$ и сравним её с правой частью $16.5 - 3c$.

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$(c+2)^2 = c^2 + 4c + 4$

$(c-4)(3-c) = 3c - c^2 - 12 + 4c = -c^2 + 7c - 12$

$0.5(4c^2 - 1) = 2c^2 - 0.5$

Подставим полученные выражения в левую часть и выполним вычитание:

$(c^2 + 4c + 4) - (-c^2 + 7c - 12) - (2c^2 - 0.5) = c^2 + 4c + 4 + c^2 - 7c + 12 - 2c^2 + 0.5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2 - 2c^2) + (4c - 7c) + (4 + 12 + 0.5) = 0 - 3c + 16.5 = 16.5 - 3c$

Левая часть тождества после преобразований равна $16.5 - 3c$, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества $(d-4)(d^2+d+1) - d(d^2-3)$ и докажем, что она равна $-3d^2 - 4$.

Раскроем скобки:

$(d-4)(d^2+d+1) = d(d^2+d+1) - 4(d^2+d+1) = d^3 + d^2 + d - 4d^2 - 4d - 4 = d^3 - 3d^2 - 3d - 4$

$d(d^2-3) = d^3 - 3d$

Подставим результаты в исходное выражение:

$(d^3 - 3d^2 - 3d - 4) - (d^3 - 3d) = d^3 - 3d^2 - 3d - 4 - d^3 + 3d$

Приведем подобные слагаемые:

$(d^3 - d^3) - 3d^2 + (-3d + 3d) - 4 = -3d^2 - 4$

Полученное выражение $-3d^2 - 4$ идентично правой части тождества.

Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества $(k+7)(k-6) - 2(k-2)^2 + (k-3)^2$ и покажем, что она равна $3k - 41$.

Раскроем скобки в каждом из слагаемых:

$(k+7)(k-6) = k^2 - 6k + 7k - 42 = k^2 + k - 42$

$2(k-2)^2 = 2(k^2 - 4k + 4) = 2k^2 - 8k + 8$

$(k-3)^2 = k^2 - 6k + 9$

Подставим полученные многочлены в левую часть тождества:

$(k^2 + k - 42) - (2k^2 - 8k + 8) + (k^2 - 6k + 9) = k^2 + k - 42 - 2k^2 + 8k - 8 + k^2 - 6k + 9$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(k^2 - 2k^2 + k^2) + (k + 8k - 6k) + (-42 - 8 + 9) = 3k - 41$

Левая часть после упрощения равна $3k - 41$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.