Номер 16.5, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.5.

1) $a - 0.25b + 4ax - bx;$

2) $0.6b - 3.5x + 1.2by - 7xy;$

3) $\frac{1}{7}ax + \frac{1}{3}bx + 3a + 7b;$

4) $\frac{3}{8}by - \frac{2}{7}xy - 21b + 16x;$

5) $4x - 5b - \frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4};$

6) $3by - 4nx + \frac{aby}{4} - \frac{anx}{3}.$

1) В выражении $a - 0,25b + 4ax - bx$ сгруппируем слагаемые методом группировки. Удобно сгруппировать первое со вторым и третье с четвертым, но чтобы получить возможность дальнейшего разложения на множители, сгруппируем слагаемые так: $(a - 0,25b) + (4ax - bx)$.
Вынесем общий множитель $x$ из второй скобки: $(a - 0,25b) + x(4a - b)$.
Заметим, что выражение во второй скобке $4a - b$ можно представить как $4(a - 0,25b)$, так как $4 \cdot 0,25b = b$.
Подставим это в наше выражение: $(a - 0,25b) + 4x(a - 0,25b)$.
Теперь мы видим общий множитель $(a - 0,25b)$, который можно вынести за скобки: $(a - 0,25b)(1 + 4x)$.
Ответ: $(a - 0,25b)(1 + 4x)$.

2) В выражении $0,6b - 3,5x + 1,2by - 7xy$ сгруппируем слагаемые: $(0,6b - 3,5x) + (1,2by - 7xy)$.
Вынесем общий множитель $y$ из второй скобки: $(0,6b - 3,5x) + y(1,2b - 7x)$.
Заметим, что коэффициенты во второй скобке в 2 раза больше коэффициентов в первой: $1,2b = 2 \cdot 0,6b$ и $7x = 2 \cdot 3,5x$. Таким образом, $1,2b - 7x = 2(0,6b - 3,5x)$.
Подставим это в выражение: $(0,6b - 3,5x) + 2y(0,6b - 3,5x)$.
Вынесем общий множитель $(0,6b - 3,5x)$: $(0,6b - 3,5x)(1 + 2y)$.
Ответ: $(0,6b - 3,5x)(1 + 2y)$.

3) В выражении $\frac{1}{7}ax + \frac{1}{3}bx + 3a + 7b$ переставим слагаемые и сгруппируем их: $(3a + 7b) + (\frac{1}{7}ax + \frac{1}{3}bx)$.
Вынесем общий множитель $x$ из второй скобки: $(3a + 7b) + x(\frac{1}{7}a + \frac{1}{3}b)$.
Преобразуем выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю 21: $\frac{1}{7}a + \frac{1}{3}b = \frac{3a}{21} + \frac{7b}{21} = \frac{3a+7b}{21}$.
Подставим полученное выражение обратно: $(3a + 7b) + x \frac{3a+7b}{21}$.
Вынесем общий множитель $(3a+7b)$ за скобки: $(3a + 7b)(1 + \frac{x}{21})$.
Ответ: $(3a + 7b)(1 + \frac{x}{21})$.

4) В выражении $\frac{3}{8}by - \frac{2}{7}xy - 21b + 16x$ сгруппируем слагаемые: $(\frac{3}{8}by - \frac{2}{7}xy) + (-21b + 16x)$.
Вынесем $y$ из первой скобки: $y(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x) + (-21b + 16x)$.
Заметим, что коэффициенты во второй скобке пропорциональны коэффициентам в первой. Найдем коэффициент пропорциональности: $\frac{-21}{3/8} = -21 \cdot \frac{8}{3} = -56$ и $\frac{16}{-2/7} = 16 \cdot (-\frac{7}{2}) = -56$.
Следовательно, $-21b + 16x = -56(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)$.
Подставим это в наше выражение: $y(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x) - 56(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)$.
Вынесем общий множитель $(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)$ за скобки: $(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)(y - 56)$.
Ответ: $(\frac{3}{8}b - \frac{2}{7}x)(y - 56)$.

5) В выражении $4x - 5b - \frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4}$ сгруппируем слагаемые: $(4x - 5b) + (-\frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4})$.
Чтобы разложить выражение на множители, необходимо вынести из второй скобки такой множитель, чтобы в скобках осталось выражение $(4x - 5b)$. Найдем этот множитель $k$, решив уравнение $k \cdot 4x = -\frac{x^2}{5}$. Отсюда $k = -\frac{x^2}{5 \cdot 4x} = -\frac{x}{20}$.
Проверим, подходит ли этот множитель для второго члена: $k \cdot (-5b) = (-\frac{x}{20})(-5b) = \frac{5xb}{20} = \frac{xb}{4}$. Это соответствует второму члену во второй скобке.
Таким образом, $(-\frac{x^2}{5} + \frac{xb}{4}) = -\frac{x}{20}(4x - 5b)$.
Подставим в исходное выражение: $(4x - 5b) - \frac{x}{20}(4x - 5b)$.
Вынесем общий множитель $(4x - 5b)$: $(4x - 5b)(1 - \frac{x}{20})$.
Ответ: $(4x - 5b)(1 - \frac{x}{20})$.

6) В выражении $3by - 4nx + \frac{aby}{4} - \frac{anx}{3}$ сгруппируем слагаемые по наличию переменной $a$: $(3by - 4nx) + (\frac{aby}{4} - \frac{anx}{3})$.
Вынесем $a$ из второй скобки: $(3by - 4nx) + a(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Заметим, что коэффициенты в первой скобке пропорциональны коэффициентам во второй. Коэффициент пропорциональности равен $\frac{3}{1/4} = 12$ и $\frac{-4}{-1/3} = 12$.
Следовательно, $(3by - 4nx) = 12(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Подставим это в наше выражение: $12(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3}) + a(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Вынесем общий множитель $(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$ за скобки и запишем множители в стандартном порядке: $(a + 12)(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.
Ответ: $(a + 12)(\frac{by}{4} - \frac{nx}{3})$.