Номер 16.6, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.6.

1) $20xy - 21ab + \frac{5}{6}xyc - \frac{7}{8}abc;$

2) $x - 6a + \frac{xy}{3} - 2ay;$

3) $\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27} - 3b - c;$

4) $\frac{abm}{3} + \frac{abn}{4} - 4m - 3n;$

5) $\frac{kxy}{5} - \frac{txy}{3} + 3k - 5t;$

6) $4tx + 7kx + \frac{ty}{7} + \frac{ky}{4}.$

1) Для разложения на множители многочлена $20xy - 21ab + \frac{5}{6}xyc - \frac{7}{8}abc$ воспользуемся методом группировки.
Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители: $ (20xy + \frac{5}{6}xyc) + (-21ab - \frac{7}{8}abc) $.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель. Общий буквенный множитель — $xy$. Для коэффициентов $20$ и $\frac{5}{6}$ найдем общий множитель. Удобно вынести $\frac{5}{6}$.
$20xy + \frac{5}{6}xyc = \frac{5}{6}xy \cdot (\frac{20 \cdot 6}{5}) + \frac{5}{6}xy \cdot c = \frac{5}{6}xy(24 + c)$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель. Общий буквенный множитель — $ab$. Для коэффициентов $-21$ и $-\frac{7}{8}$ удобно вынести $-\frac{7}{8}$.
$-21ab - \frac{7}{8}abc = -\frac{7}{8}ab \cdot (\frac{21 \cdot 8}{7}) - \frac{7}{8}ab \cdot c = -\frac{7}{8}ab(24 + c)$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $ \frac{5}{6}xy(24 + c) - \frac{7}{8}ab(24 + c) $.
Вынесем за скобки общий множитель $(24+c)$: $ (24+c)(\frac{5}{6}xy - \frac{7}{8}ab) $.
Ответ: $(24+c)(\frac{5}{6}xy - \frac{7}{8}ab)$.

2) Для разложения на множители многочлена $x - 6a + \frac{xy}{3} - 2ay$ сгруппируем слагаемые.
Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым: $(x + \frac{xy}{3}) + (-6a - 2ay)$.
В первой группе вынесем за скобки $x$: $x(1 + \frac{y}{3})$.
Во второй группе вынесем за скобки $-2a$: $-2a(3 + y)$.
Выражение примет вид: $x(1 + \frac{y}{3}) - 2a(3 + y)$.
Преобразуем выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю: $1 + \frac{y}{3} = \frac{3}{3} + \frac{y}{3} = \frac{3+y}{3}$.
Теперь выражение выглядит так: $x \cdot \frac{3+y}{3} - 2a(3+y) = \frac{x}{3}(3+y) - 2a(3+y)$.
Вынесем общий множитель $(3+y)$ за скобки: $(3+y)(\frac{x}{3} - 2a)$.
Ответ: $(3+y)(\frac{x}{3} - 2a)$.

3) Разложим на множители многочлен $\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27} - 3b - c$.
Сгруппируем слагаемые: $(\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27}) + (-3b - c)$.
В первой группе вынесем общий множитель за скобки. Общий буквенный множитель — $ax$. Для коэффициентов $\frac{b}{9}$ и $\frac{c}{27}$ вынесем $\frac{1}{27}$.
$\frac{abx}{9} + \frac{cax}{27} = \frac{3abx}{27} + \frac{acx}{27} = \frac{ax}{27}(3b+c)$.
Во второй группе вынесем за скобки $-1$: $-(3b+c)$.
Исходное выражение примет вид: $\frac{ax}{27}(3b+c) - 1 \cdot (3b+c)$.
Вынесем общий множитель $(3b+c)$ за скобки: $(3b+c)(\frac{ax}{27} - 1)$.
Ответ: $(3b+c)(\frac{ax}{27} - 1)$.

4) Разложим на множители многочлен $\frac{abm}{3} + \frac{abn}{4} - 4m - 3n$.
Сгруппируем слагаемые: $(\frac{abm}{3} + \frac{abn}{4}) + (-4m - 3n)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $ab$: $ab(\frac{m}{3} + \frac{n}{4})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 12: $ab(\frac{4m}{12} + \frac{3n}{12}) = ab(\frac{4m+3n}{12}) = \frac{ab}{12}(4m+3n)$.
Во второй группе вынесем за скобки $-1$: $-(4m+3n)$.
Выражение примет вид: $\frac{ab}{12}(4m+3n) - (4m+3n)$.
Вынесем общий множитель $(4m+3n)$ за скобки: $(4m+3n)(\frac{ab}{12} - 1)$.
Ответ: $(4m+3n)(\frac{ab}{12} - 1)$.

5) Разложим на множители многочлен $\frac{kxy}{5} - \frac{txy}{3} + 3k - 5t$.
Сгруппируем слагаемые: $(\frac{kxy}{5} - \frac{txy}{3}) + (3k - 5t)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $xy$: $xy(\frac{k}{5} - \frac{t}{3})$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 15: $xy(\frac{3k}{15} - \frac{5t}{15}) = xy(\frac{3k-5t}{15}) = \frac{xy}{15}(3k-5t)$.
Выражение примет вид: $\frac{xy}{15}(3k-5t) + (3k-5t)$.
Вынесем общий множитель $(3k-5t)$ за скобки: $(3k-5t)(\frac{xy}{15} + 1)$.
Ответ: $(3k-5t)(\frac{xy}{15} + 1)$.

6) Разложим на множители многочлен $4tx + 7kx + \frac{ty}{7} + \frac{ky}{4}$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$: $(4tx + 7kx) + (\frac{ty}{7} + \frac{ky}{4})$.
В первой группе вынесем за скобки $x$: $x(4t+7k)$.
Во второй группе вынесем за скобки $y$: $y(\frac{t}{7} + \frac{k}{4})$.
Приведем выражение во вторых скобках к общему знаменателю 28: $y(\frac{4t}{28} + \frac{7k}{28}) = y(\frac{4t+7k}{28}) = \frac{y}{28}(4t+7k)$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $x(4t+7k) + \frac{y}{28}(4t+7k)$.
Вынесем общий множитель $(4t+7k)$ за скобки: $(4t+7k)(x + \frac{y}{28})$.
Ответ: $(4t+7k)(x + \frac{y}{28})$.