Номер 20.5, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.5. Найдите область определения функции и установите по таблице 20.7, является ли эта функция возрастающей или убывающей:

Таблица 20.7

1)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

2)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, $ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{10} $, $ \frac{1}{32} $, $ \frac{1}{64} $

3)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729

4)

x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 1, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{27} $, $ \frac{1}{81} $, $ \frac{1}{243} $, $ \frac{1}{729} $

5)

x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

y: 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25

6)

x: -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5

y: $ \frac{1}{25} $, $ \frac{1}{16} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{4} $, 1, 1, $ \frac{1}{4} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{16} $, $ \frac{1}{25} $

7)

x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

y: -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27

8)

x: -3, -2, -1, 1, 2, 3

y: $ -\frac{1}{27} $, $ -\frac{1}{8} $, -1, 1, $ \frac{1}{8} $, $ \frac{1}{27} $

1)

Область определения функции — это множество значений аргумента $x$, для которых функция определена. В данном случае это значения из верхней строки таблицы: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Для определения, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения $y$ при возрастании значений $x$. Значения $x$ в таблице идут в порядке возрастания: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$. Так как $1 < 2 < 4 < 8 < 16 < 32 < 64$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция возрастающая.

2)

Область определения функции: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Значения $x$ в таблице идут в порядке возрастания: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}$. Сравним эти значения в виде десятичных дробей: $1 > 0.5 > 0.25 > 0.125 > 0.1 > 0.03125 > 0.015625$. Каждому большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция убывающая.

3)

Область определения функции: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Значения $x$ возрастают: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$. Так как $1 < 3 < 9 < 27 < 81 < 243 < 729$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция возрастающая.

4)

Область определения функции: $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Значения $x$ возрастают: $0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6$. Соответствующие значения $y$: $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \frac{1}{729}$. Так как $1 > \frac{1}{3} > \frac{1}{9} > \frac{1}{27} > \dots$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$; функция убывающая.

5)

Область определения функции: $D(y) = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Значения $x$ в таблице возрастают. Проследим за изменением значений $y$. При возрастании $x$ от $-4$ до $0$, значения $y$ ($16, 9, 4, 1, 0$) убывают. Однако при возрастании $x$ от $0$ до $5$, значения $y$ ($0, 1, 4, 9, 16, 25$) возрастают. Поскольку на одном участке области определения функция убывает, а на другом — возрастает, она не является ни возрастающей, ни убывающей на всей области определения.

Ответ: область определения $D(y) = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$; функция не является ни возрастающей, ни убывающей.

6)

Область определения функции: $D(y) = \{-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Значения $x$ в таблице возрастают. Проследим за изменением значений $y$. При возрастании $x$ от $-5$ до $-1$, значения $y$ ($\frac{1}{25}, \frac{1}{16}, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}, 1$) возрастают. При переходе от $x=-1$ к $x=1$ значение $y$ не меняется ($y=1$). При возрастании $x$ от $1$ до $5$, значения $y$ ($1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}$) убывают. Так как на разных участках области определения функция ведет себя по-разному (возрастает, а затем убывает), она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{-5; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 5\}$; функция не является ни возрастающей, ни убывающей.

7)

Область определения функции: $D(y) = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.

Значения $x$ возрастают: $-3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3$. Соответствующие значения $y$: $-27, -8, -1, 0, 1, 8, 27$. Так как $-27 < -8 < -1 < 0 < 1 < 8 < 27$, то каждому большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$; функция возрастающая.

8)

Область определения функции: $D(y) = \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}$.

Значения $x$ в таблице возрастают. Проследим за изменением значений $y$. При возрастании $x$ от $-3$ до $-1$, значения $y$ ($-\frac{1}{27}, -\frac{1}{8}, -1$) убывают, так как $-\frac{1}{27} > -\frac{1}{8} > -1$. Однако при переходе от $x=-1$ к $x=1$ значение $y$ возрастает с $-1$ до $1$. Так как на одном участке области определения функция убывает, а на другом — возрастает, она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: область определения $D(y) = \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}$; функция не является ни возрастающей, ни убывающей.