Вопросы, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как задать функцию с помощью графика?

1. Могут ли быть графиком функции три точки?

2. Всякий ли график задает функцию?

Задать функцию с помощью графика означает изобразить на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых $(x; y)$ удовлетворяют функциональной зависимости $y = f(x)$. Каждая точка на графике представляет собой пару (аргумент; значение функции). Таким образом, график наглядно показывает, как изменяется значение функции при изменении ее аргумента.

Для того чтобы с помощью графика найти значение функции $y$ для заданного значения аргумента $x$, нужно:

1. Найти на оси абсцисс (оси $x$) точку с координатой, равной данному значению аргумента.
2. Провести через эту точку вертикальную прямую до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную прямую до пересечения с осью ординат (осью $y$).
4. Координата точки на оси ординат и будет искомым значением функции.

Область определения функции — это проекция ее графика на ось абсцисс, а область значений — проекция на ось ординат.

1. Могут ли быть графиком функции три точки?

Да, три точки на координатной плоскости могут быть графиком функции. Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества (области определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции).

В случае трех точек, область определения будет состоять из трех значений аргумента. Главное условие, которому должны удовлетворять эти три точки, чтобы быть графиком функции, заключается в том, что все их абсциссы (координаты $x$) должны быть различны. Если бы у двух или трех точек были одинаковые абсциссы, но разные ординаты, то это означало бы, что одному значению аргумента $x$ соответствует несколько значений функции $y$, что противоречит определению функции.

Пример: Точки $A(1; 5)$, $B(3; -2)$ и $C(4; 5)$ могут быть графиком функции, так как их абсциссы 1, 3 и 4 различны. Область определения такой функции — множество $\{1; 3; 4\}$.

Контрпример: Точки $A(2; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(3; 0)$ не могут быть графиком функции, так как одному значению аргумента $x=2$ соответствуют два разных значения функции: $y=1$ и $y=4$.

Ответ: Да, могут, но только в том случае, если у всех трех точек разные абсциссы (координаты $x$).

2. Всякий ли график задает функцию?

Нет, не всякое множество точек на координатной плоскости (то есть не всякий график) задает функцию. График задает функцию только в том случае, если он удовлетворяет так называемому «тесту вертикальной прямой».

Тест вертикальной прямой: Графическое изображение является графиком функции тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая, проведенная на координатной плоскости, пересекает этот график не более чем в одной точке.

Если можно провести хотя бы одну вертикальную прямую (прямую вида $x = a$, где $a$ — константа), которая пересечет график в двух или более точках, то этот график не является графиком функции. Это связано с тем, что для одного значения аргумента $x=a$ будет существовать несколько значений $y$, что нарушает основное определение функции.

Примеры графиков, которые задают функции: прямая (не вертикальная), парабола $y = ax^2 + bx + c$, гипербола $y = k/x$.

Примеры графиков, которые не задают функции: окружность, эллипс, парабола $x = ay^2 + by + c$, любая вертикальная прямая.

Ниже приведены примеры. Слева — график функции (парабола), любая вертикальная прямая пересекает его не более одного раза. Справа — график, не являющийся функцией (окружность), вертикальная прямая пересекает его в двух точках.

Ответ: Нет, не всякий. График задает функцию только в том случае, если любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке.