Номер 20.4, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.4. Задайте функцию $y$ формулой с помощью таблицы 20.6:

Таблица 20.6

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Из каких чисел состоит область определения всех этих функций? Какие из этих функций возрастающие, какие убывающие?

1)Анализируем данные в таблице. Замечаем, что при увеличении $x$ на 1, значение $y$ увеличивается на 3. Это указывает на линейную зависимость вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 3$. Проверим формулу $y = 3x$:
При $x = 1, y = 3 \cdot 1 = 3$.
При $x = 2, y = 3 \cdot 2 = 6$.
При $x = 3, y = 3 \cdot 3 = 9$.
При $x = 4, y = 3 \cdot 4 = 12$.
Все значения совпадают.
Ответ: $y = 3x$.

2)В этой таблице при увеличении $x$ на 1, значение $y$ также увеличивается на 3 ($7-4=3, 10-7=3$). Значит, это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 3$, и ее формула имеет вид $y = 3x + b$. Чтобы найти $b$, подставим первую пару значений (1; 4):
$4 = 3 \cdot 1 + b$
$b = 4 - 3 = 1$.
Таким образом, формула функции: $y = 3x + 1$. Проверим для $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 + 1 = 7$, что совпадает с таблицей.
Ответ: $y = 3x + 1$.

3)Здесь также при увеличении $x$ на 1, значение $y$ увеличивается на 3 ($5-2=3, 8-5=3$). Угловой коэффициент $k = 3$. Формула имеет вид $y = 3x + b$. Подставим значения из первого столбца (1; 2):
$2 = 3 \cdot 1 + b$
$b = 2 - 3 = -1$.
Получаем формулу: $y = 3x - 1$. Проверим для $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$, что совпадает с таблицей.
Ответ: $y = 3x - 1$.

4)В этой таблице при увеличении $x$ на 1, значение $y$ уменьшается на 3 ($-6 - (-3) = -3$). Это линейная зависимость с угловым коэффициентом $k = -3$. Проверим формулу $y = -3x$:
При $x = 1, y = -3 \cdot 1 = -3$.
При $x = 2, y = -3 \cdot 2 = -6$.
Все значения совпадают, значит, смещение $b = 0$.
Ответ: $y = -3x$.

5)Здесь при увеличении $x$ на 1, значение $y$ уменьшается на 3 ($-5 - (-2) = -3$). Угловой коэффициент $k = -3$. Формула имеет вид $y = -3x + b$. Подставим значения из первого столбца (1; -2):
$-2 = -3 \cdot 1 + b$
$b = -2 + 3 = 1$.
Получаем формулу: $y = -3x + 1$. Проверим для $x = 2$: $y = -3 \cdot 2 + 1 = -5$, что совпадает с таблицей.
Ответ: $y = -3x + 1$.

6)В данной таблице значения $x$ идут не по порядку, а значения $y$ составляют арифметическую прогрессию. Вероятнее всего, в значениях $x$ допущена опечатка, и они должны быть 1, 2, 3, 4, как и в предыдущих заданиях. Примем это допущение. Тогда таблица должна выглядеть так:
x | 1 | 2 | 3 | 4
y | -4 | -7 | -10 | -13
В этом случае при увеличении $x$ на 1, $y$ уменьшается на 3. Угловой коэффициент $k = -3$. Формула: $y = -3x + b$. Подставим пару (1; -4):
$-4 = -3 \cdot 1 + b$
$b = -4 + 3 = -1$.
Формула функции: $y = -3x - 1$. Проверим для $x = 2$: $y = -3 \cdot 2 - 1 = -7$. Совпадает с нашим предположением.
Ответ: $y = -3x - 1$.

Из каких чисел состоит область определения всех этих функций?
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция задана. Согласно таблицам:
- для функций 1), 2), 3), 4), 5) область определения — это множество чисел $\{1, 2, 3, 4\}$.
- для функции 6) область определения, как она дана в таблице, — это множество чисел $\{1, 2, 4, 9\}$.

Какие из этих функций возрастающие, какие убывающие?
Функция является возрастающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Функция является убывающей, если большему значению $x$ соответствует меньшее значение $y$. Для линейной функции $y = kx+b$, она возрастает при $k > 0$ и убывает при $k < 0$.
- Возрастающие функции: 1), 2), 3) (для всех $k = 3 > 0$).
- Убывающие функции: 4), 5), 6) (для всех $k = -3 < 0$, для пункта 6 используем формулу, полученную в предположении об опечатке).