Номер 23.3, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.3. Для линейной функции: 1) $y = 2x - 7$; 2) $y = 1,4 + 3x$; 3) $y = x + 3,5$; 4) $y = -10,5 + 3x$; 5) $y = 3x - 7$

укажите функцию, график которой:

а) параллелен графику данной функции;

б) пересекает график данной функции;

в) совпадает с графиком данной функции.

Для решения задачи воспользуемся свойством линейных функций вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (определяет наклон прямой), а $b$ — свободный член (определяет точку пересечения прямой с осью ординат).

Взаимное расположение графиков двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ определяется соотношением их коэффициентов:

• Параллельность: графики параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$).

• Пересечение: графики пересекаются в одной точке, если их угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$).

• Совпадение: графики совпадают (являются одной и той же прямой), если равны и угловые коэффициенты, и свободные члены ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$).

Выпишем угловые коэффициенты ($k$) и свободные члены ($b$) для каждой из заданных функций, приведя их к стандартному виду $y = kx + b$:

1) $y = 2x - 7$: $k_1 = 2$, $b_1 = -7$.

2) $y = 1,4 + 3x \implies y = 3x + 1,4$: $k_2 = 3$, $b_2 = 1,4$.

3) $y = x + 3,5$: $k_3 = 1$, $b_3 = 3,5$.

4) $y = -10,5 + 3x \implies y = 3x - 10,5$: $k_4 = 3$, $b_4 = -10,5$.

5) $y = 3x - 7$: $k_5 = 3$, $b_5 = -7$.

Теперь проанализируем каждую функцию по отдельности.

1) Для функции $y = 2x - 7$

а) параллелен графику данной функции
Для параллельности необходим график функции с угловым коэффициентом $k=2$ и свободным членом $b \neq -7$. Среди предложенных функций нет других с $k=2$.
Ответ: таких функций в списке нет.

б) пересекает график данной функции
Для пересечения необходим график функции с угловым коэффициентом $k \neq 2$. Этому условию удовлетворяют функции 2), 3), 4), 5), так как их угловые коэффициенты равны 3, 1, 3 и 3 соответственно.
Ответ: $y = 1,4 + 3x$; $y = x + 3,5$; $y = -10,5 + 3x$; $y = 3x - 7$.

в) совпадает с графиком данной функции
Для совпадения необходим график функции с $k=2$ и $b = -7$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

2) Для функции $y = 1,4 + 3x$

а) параллелен графику данной функции
Ищем функции с $k=3$ и $b \neq 1,4$. Этому условию соответствуют функции 4) $y = -10,5 + 3x$ (где $k_4=3, b_4=-10,5$) и 5) $y = 3x - 7$ (где $k_5=3, b_5=-7$).
Ответ: $y = -10,5 + 3x$ и $y = 3x - 7$.

б) пересекает график данной функции
Ищем функции с $k \neq 3$. Этому условию соответствуют функции 1) $y = 2x - 7$ (где $k_1=2$) и 3) $y = x + 3,5$ (где $k_3=1$).
Ответ: $y = 2x - 7$ и $y = x + 3,5$.

в) совпадает с графиком данной функции
Ищем функцию с $k=3$ и $b = 1,4$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

3) Для функции $y = x + 3,5$

а) параллелен графику данной функции
Для параллельности необходим график функции с $k=1$ и $b \neq 3,5$. Среди предложенных функций нет других с $k=1$.
Ответ: таких функций в списке нет.

б) пересекает график данной функции
Для пересечения необходим график функции с $k \neq 1$. Этому условию удовлетворяют все остальные функции (1, 2, 4, 5), так как их угловые коэффициенты равны 2, 3, 3, 3.
Ответ: $y = 2x - 7$; $y = 1,4 + 3x$; $y = -10,5 + 3x$; $y = 3x - 7$.

в) совпадает с графиком данной функции
Для совпадения необходим график функции с $k=1$ и $b = 3,5$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

4) Для функции $y = -10,5 + 3x$

а) параллелен графику данной функции
Ищем функции с $k=3$ и $b \neq -10,5$. Этому условию соответствуют функции 2) $y = 1,4 + 3x$ (где $k_2=3, b_2=1,4$) и 5) $y = 3x - 7$ (где $k_5=3, b_5=-7$).
Ответ: $y = 1,4 + 3x$ и $y = 3x - 7$.

б) пересекает график данной функции
Ищем функции с $k \neq 3$. Этому условию соответствуют функции 1) $y = 2x - 7$ (где $k_1=2$) и 3) $y = x + 3,5$ (где $k_3=1$).
Ответ: $y = 2x - 7$ и $y = x + 3,5$.

в) совпадает с графиком данной функции
Ищем функцию с $k=3$ и $b = -10,5$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.

5) Для функции $y = 3x - 7$

а) параллелен графику данной функции
Ищем функции с $k=3$ и $b \neq -7$. Этому условию соответствуют функции 2) $y = 1,4 + 3x$ (где $k_2=3, b_2=1,4$) и 4) $y = -10,5 + 3x$ (где $k_4=3, b_4=-10,5$).
Ответ: $y = 1,4 + 3x$ и $y = -10,5 + 3x$.

б) пересекает график данной функции
Ищем функции с $k \neq 3$. Этому условию соответствуют функции 1) $y = 2x - 7$ (где $k_1=2$) и 3) $y = x + 3,5$ (где $k_3=1$).
Ответ: $y = 2x - 7$ и $y = x + 3,5$.

в) совпадает с графиком данной функции
Ищем функцию с $k=3$ и $b = -7$. Таких функций, кроме самой данной, в списке нет.
Ответ: таких функций в списке нет.