Номер 23.5, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = -6x + 1$ и $y = 5x + 9;$

2) $y = -17 + 3,4x$ и $y = -1,2x + 69;$

3) $y = 21 - 9x$ и $y = -2,5x + 8;$

4) $y = 16,2 + 8x$ и $y = -0,8x + 7,4;$

5) $y = 1 - 3x$ и $y = -x - 1;$

6) $y = 1 + 7x$ и $y = 6,5x.$

1)

Даны функции $y = -6x + 1$ и $y = 5x + 9$.

Чтобы найти координаты точки пересечения их графиков, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих функций совпадают.

$-6x + 1 = 5x + 9$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:

$-6x - 5x = 9 - 1$

$-11x = 8$

$x = -\frac{8}{11}$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Для нахождения ординаты $y$ подставим найденное значение $x$ в уравнение любой из двух функций. Например, в $y = 5x + 9$:

$y = 5 \cdot (-\frac{8}{11}) + 9 = -\frac{40}{11} + \frac{99}{11} = \frac{59}{11}$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков: $(-\frac{8}{11}, \frac{59}{11})$.

Ответ: $(-\frac{8}{11}, \frac{59}{11})$.

2)

Даны функции $y = -17 + 3,4x$ и $y = -1,2x + 69$.

Приравняем выражения для $y$, чтобы найти общую точку:

$-17 + 3,4x = -1,2x + 69$

Решим уравнение относительно $x$. Сгруппируем слагаемые с $x$ и константы:

$3,4x + 1,2x = 69 + 17$

$4,6x = 86$

$x = \frac{86}{4,6} = \frac{860}{46} = \frac{430}{23}$

Теперь найдем ординату $y$, подставив значение $x$ в одно из уравнений. Например, в $y = -1,2x + 69$:

$y = -1,2 \cdot \frac{430}{23} + 69 = -\frac{12}{10} \cdot \frac{430}{23} + 69 = -\frac{6}{5} \cdot \frac{430}{23} + 69 = -6 \cdot \frac{86}{23} + 69 = -\frac{516}{23} + \frac{69 \cdot 23}{23} = \frac{-516 + 1587}{23} = \frac{1071}{23}$

Таким образом, координаты точки пересечения: $(\frac{430}{23}, \frac{1071}{23})$.

Ответ: $(\frac{430}{23}, \frac{1071}{23})$.

3)

Даны функции $y = 21 - 9x$ и $y = -2,5x + 8$.

Приравняем правые части уравнений:

$21 - 9x = -2,5x + 8$

Решим уравнение относительно $x$:

$21 - 8 = 9x - 2,5x$

$13 = 6,5x$

$x = \frac{13}{6,5} = 2$

Подставим $x = 2$ в первое уравнение для нахождения $y$:

$y = 21 - 9 \cdot 2 = 21 - 18 = 3$

Координаты точки пересечения: $(2, 3)$.

Ответ: $(2, 3)$.

4)

Даны функции $y = 16,2 + 8x$ и $y = -0,8x + 7,4$.

Приравниваем выражения для $y$:

$16,2 + 8x = -0,8x + 7,4$

Решим уравнение, сгруппировав переменные и константы:

$8x + 0,8x = 7,4 - 16,2$

$8,8x = -8,8$

$x = \frac{-8,8}{8,8} = -1$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -1$ во второе уравнение:

$y = -0,8 \cdot (-1) + 7,4 = 0,8 + 7,4 = 8,2$

Координаты точки пересечения: $(-1; 8,2)$.

Ответ: $(-1; 8,2)$.

5)

Даны функции $y = 1 - 3x$ и $y = -x - 1$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$1 - 3x = -x - 1$

Решим полученное уравнение:

$1 + 1 = 3x - x$

$2 = 2x$

$x = 1$

Подставим $x = 1$ в любое из уравнений для нахождения ординаты. Возьмем второе:

$y = -1 - 1 = -2$

Координаты точки пересечения: $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

6)

Даны функции $y = 1 + 7x$ и $y = 6,5x$.

Приравняем выражения для $y$:

$1 + 7x = 6,5x$

Решим уравнение относительно $x$:

$1 = 6,5x - 7x$

$1 = -0,5x$

$x = \frac{1}{-0,5} = -2$

Теперь найдем $y$, подставив $x = -2$ в уравнение $y = 6,5x$:

$y = 6,5 \cdot (-2) = -13$

Координаты точки пересечения: $(-2, -13)$.

Ответ: $(-2, -13)$.