Страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.11. Как появился термин "парабола"?

25.11. Термин "парабола" был введён древнегреческим математиком Аполлонием Пергским примерно в 200 году до н.э. в его фундаментальном труде "Конические сечения". Название происходит от древнегреческого слова παραβολή (parabolē), которое означает "приложение", "прикладывание" или "сравнение".

Это название связано с методом, который Аполлоний использовал для исследования свойств кривой, — так называемым "методом приложения площадей". Суть метода заключается в следующем: для любой точки, лежащей на параболе, квадрат, построенный на её ординате (координата $y$), всегда в точности равен по площади прямоугольнику, построенному на её абсциссе (координата $x$) и некотором постоянном для данной параболы отрезке, который называют параметром ($p$). Это свойство выражается каноническим уравнением параболы: $y^2 = px$.

Слово "парабола" (παραβολή) как раз и отражает это свойство точного "приложения" или "соответствия": площадь квадрата на ординате "прикладывается" к площади прямоугольника на абсциссе, и они оказываются равны — без недостатка или избытка. Для сравнения, два других конических сечения получили свои названия по тому же принципу: эллипс (от греч. ἔλλειψις — "недостаток", "опущение"), у которого площадь квадрата на ординате меньше площади соответствующего прямоугольника, и гипербола (от греч. ὑπερβολή — "избыток", "преувеличение"), у которой она, наоборот, больше.

Интересно, что эти же греческие корни сохранились в современных языках в риторических терминах: "гипербола" как литературный прием преувеличения, "эллипсис" как пропуск слов в предложении, а слово "парабола" в значении "притча" (англ. parable) также означает сравнение, иносказание, где одна история "прикладывается" к другой для пояснения морали.

Ответ: Термин "парабола" происходит от древнегреческого слова παραβολή ("приложение", "сравнение") и был введён математиком Аполлонием Пергским. Название отражает ключевое геометрическое свойство этой кривой: площадь квадрата, построенного на ординате любой её точки, в точности равна ("прикладывается" без излишка или недостатка) площади прямоугольника, построенного на абсциссе и постоянном отрезке (параметре параболы).

25.12. Расскажите о свойстве параболы, применяемом на практике.

На рисунке 25.4 изображен параболоид. Как он получается и где используется?

$y = ax^2$

Рис. 25.4

Расскажите о свойстве параболы, применяемом на практике.
Основное свойство параболы, которое находит широкое применение на практике, — это ее оптическое (или фокальное) свойство.
У каждой параболы есть особая точка, называемая фокусом (на рисунке обозначена буквой F). Свойство заключается в том, что все лучи, направленные параллельно оси симметрии параболы, после отражения от ее внутренней поверхности собираются (фокусируются) в этой точке.
На приведенном рисунке, который является аналогом рисунка из задания, показана парабола, заданная уравнением $y = ax^2$. Ее осью симметрии является ось Oy. Пучок лучей, параллельных оси Oy, падает на параболу и, отражаясь, все лучи пересекаются в фокусе F. Координаты фокуса для такой параболы равны $F(0; \frac{1}{4a})$.

Это свойство является "обратимым": если в фокусе параболы поместить источник света (или другого излучения), то лучи, отраженные от параболы, образуют пучок, параллельный ее оси симметрии.

Ответ: Основное практическое свойство параболы — оптическое (фокальное): лучи, параллельные оси симметрии, после отражения от параболы собираются в ее фокусе, и наоборот, источник, помещенный в фокус, создает параллельный пучок лучей после отражения.

На рисунке 25.4 изображен параболоид. Как он получается и где используется?
Параболоид, а точнее параболоид вращения, — это трехмерная поверхность, которая образуется при вращении параболы вокруг ее оси симметрии. Если параболу $y = ax^2$ вращать вокруг оси Oy, мы получим поверхность в форме чаши, как та, что изображена на рисунке.
Параболоид обладает тем же фокальным свойством, что и парабола, но в трехмерном пространстве. Это свойство определяет его широкое применение в различных областях:
1. Спутниковые антенны и радиотелескопы. Тарелка антенны имеет форму параболоида. Она улавливает приходящие из космоса параллельные электромагнитные волны и фокусирует их на приемнике (конвертере), который расположен в фокусе. Это позволяет многократно усилить слабый сигнал. Фотография в задании как раз показывает такую антенну.
2. Прожекторы, фары автомобилей, фонари. В этих осветительных приборах источник света (лампа или светодиод) размещается в фокусе параболического отражателя. Свет, отражаясь от поверхности параболоида, формирует мощный, узконаправленный пучок параллельных лучей, что позволяет освещать объекты на большом расстоянии.
3. Солнечные концентраторы и печи. Параболические зеркала используются для концентрации солнечной энергии. Солнечные лучи, которые приходят на Землю параллельным пучком, собираются в фокусе зеркала, где достигается очень высокая температура. Эта энергия используется для нагрева воды, выработки электричества или в высокотемпературных промышленных печах.
4. Передающие антенны. Для передачи сигнала на большие расстояния в заданном направлении (например, в радиорелейной связи) излучатель помещают в фокус параболической антенны. Это позволяет сформировать узкий и мощный луч радиоволн, минимизируя рассеивание энергии.

Ответ: Параболоид получается вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Он используется в спутниковых и передающих антеннах, прожекторах и фарах, солнечных концентраторах благодаря своей способности собирать параллельные лучи в фокусе или, наоборот, создавать параллельный пучок лучей от источника, расположенного в фокусе.

25.13. Установите соответствие (табл. 25.4).

Таблица 25.4

Числовой промежуток:

Изображение, обозначение:

1) открытый числовой луч;

2) числовая прямая;

3) числовой луч;

4) числовой интервал;

5) числовой полуинтервал.

A. $[a; b]$

B. $(a; b)$

C. $(a; +\infty)$

D. $(-\infty; b]$

E. $(-\infty; +\infty)$

F. $[a; b]$

1) открытый числовой луч;

Открытый числовой луч — это множество всех чисел на прямой, расположенных по одну сторону от некоторой точки, при этом сама точка в множество не включается. На графике такая точка обозначается как "выколотая" (пустой кружок). Этому определению соответствует изображение под буквой C, где показаны все числа, строго большие, чем a.

Данный промежуток обозначается как $x \in (a; +\infty)$.

Ответ: C.

2) числовая прямая;

Числовая прямая — это множество всех действительных чисел. Графически она изображается как прямая, заштрихованная по всей своей длине, так как включает в себя все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности. Этому соответствует изображение под буквой E.

Обозначение для этого множества: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ: E.

3) числовой луч;

Числовой луч (или замкнутый луч) — это множество всех чисел на прямой, расположенных по одну сторону от некоторой точки, при этом сама точка включается в множество. На графике такая точка обозначается как "закрашенная" (сплошной кружок), а в обозначении промежутка используется квадратная скобка. Этому определению соответствует изображение D.

Оно представляет собой множество всех чисел $x$, которые меньше или равны $b$. Это записывается как $x \le b$ или в виде промежутка $(-\infty; b]$.

Ответ: D.

4) числовой интервал;

Числовой интервал — это множество чисел, заключенных между двумя точками, не включая сами эти точки. На графике обе граничные точки изображаются выколотыми, а в обозначении используются круглые скобки. Этому определению соответствует изображение B.

Этот промежуток обозначается как $x \in (a; b)$.

Ответ: B.

5) числовой полуинтервал.

Числовой полуинтервал (или полуотрезок) — это множество чисел, заключенных между двумя точками, причем одна из граничных точек принадлежит множеству, а другая — нет. На графике одна точка закрашенная, другая — выколотая. В обозначении используются и квадратная, и круглая скобки. Этому соответствует изображение A.

Данный промежуток включает все числа $x$, такие что $a \le x < b$, и обозначается как $x \in [a; b)$.

Ответ: A.