Номер 26.9, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.9. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$, если:

1) $a=3, b=2;$

2) $a=-3, b=0,2;$

3) $a=0,2, b=-0,2;$

4) $a=-4, b=-2?$

Для нахождения количества точек пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их уравнения и найти количество действительных корней полученного уравнения.

Общее уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций $y = ax^2$ и $y = bx^3$ выглядит так:

$ax^2 = bx^3$

Решим это уравнение в общем виде:

$bx^3 - ax^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(bx - a) = 0$

Это уравнение имеет два решения для $x$:

1. $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2. $bx - a = 0 \implies bx = a$

Первый корень $x_1 = 0$ существует всегда. Это означает, что графики всегда пересекаются в начале координат, точке $(0, 0)$.

Из второго уравнения, при условии, что $b \ne 0$, получаем второй корень $x_2 = \frac{a}{b}$.

Если $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то $x_2 = \frac{a}{b}$ будет отличным от нуля, и мы получим два различных корня: $x_1=0$ и $x_2=\frac{a}{b}$. Следовательно, будет две точки пересечения.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) a = 3, b = 2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = 3x^2$ и $y = 2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$3x^2 = 2x^3$
$2x^3 - 3x^2 = 0$
$x^2(2x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

2) a = -3, b = 0,2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = -3x^2$ и $y = 0,2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$-3x^2 = 0,2x^3$
$0,2x^3 + 3x^2 = 0$
$x^2(0,2x + 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$0,2x + 3 = 0 \implies 0,2x = -3 \implies x_2 = \frac{-3}{0,2} = -15$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

3) a = 0,2, b = -0,2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = 0,2x^2$ и $y = -0,2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$0,2x^2 = -0,2x^3$
$0,2x^3 + 0,2x^2 = 0$
$0,2x^2(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.

4) a = -4, b = -2

Подставляем значения $a$ и $b$ в функции: $y = -4x^2$ и $y = -2x^3$.
Приравниваем уравнения:
$-4x^2 = -2x^3$
$2x^3 - 4x^2 = 0$
$2x^2(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Так как корни различны, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: 2.