Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как из гиперболы $y=\frac{1}{x}$ получить гиперболы: $y=-7 \cdot \frac{1}{x}$; $y=\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$?

2. Как относительно друг друга расположены гиперболы $y=\frac{k}{x}$ и $y=-\frac{k}{x}$?

3. Объясните, почему начало координат является центром симметрии гиперболы вида $y=\frac{k}{x}$.

4. В каких координатных четвертях расположена гипербола: $y=\frac{11}{x}$; $y=-\frac{11}{x}$?

1. Как из гиперболы $y = \frac{1}{x}$ получить гиперболы: $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$; $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$?

Преобразование графика функции $y = f(x)$ в график $y = k \cdot f(x)$ выполняется путем растяжения или сжатия графика вдоль оси ординат (оси Oy). Если коэффициент $k$ отрицателен, добавляется симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси Ox).

Для гиперболы $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$ (или $y = \frac{-7}{x}$), коэффициент преобразования $k=-7$. Так как $|-7| > 1$, это растяжение. Так как $k<0$, это отражение. Таким образом, чтобы получить этот график, нужно график функции $y = \frac{1}{x}$ растянуть в 7 раз от оси Ox, а затем отразить симметрично относительно оси Ox.

Для гиперболы $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$ (или $y = \frac{1}{7x}$), коэффициент преобразования $k=\frac{1}{7}$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, это сжатие. Таким образом, чтобы получить этот график, нужно график функции $y = \frac{1}{x}$ сжать в 7 раз к оси Ox.

Ответ: Чтобы получить график $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$, нужно график $y = \frac{1}{x}$ растянуть в 7 раз от оси Ox и отразить относительно оси Ox. Чтобы получить график $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$, нужно график $y = \frac{1}{x}$ сжать в 7 раз к оси Ox.

2. Как относительно друг друга расположены гиперболы $y=\frac{k}{x}$ и $y=-\frac{k}{x}$?

Сравним значения функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = -\frac{k}{x}$ при одном и том же значении аргумента $x$. Очевидно, что $y_2 = -y_1$. Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_1)$ на первой гиперболе существует точка $(x_0, -y_1)$ на второй гиперболе. Точки вида $(x, y)$ и $(x, -y)$ являются симметричными относительно оси абсцисс (оси Ox). Следовательно, графики данных функций симметричны друг другу относительно оси Ox.

Ответ: Гиперболы $y=\frac{k}{x}$ и $y=-\frac{k}{x}$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Объясните, почему начало координат является центром симметрии гиперболы вида $y=\frac{k}{x}$.

Фигура является симметричной относительно начала координат, если для любой ее точки с координатами $(x_0, y_0)$ точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит этой фигуре.

Пусть точка $A(x_0, y_0)$ принадлежит графику гиперболы $y=\frac{k}{x}$. Это означает, что выполняется равенство $y_0 = \frac{k}{x_0}$.

Теперь рассмотрим точку $A'(-x_0, -y_0)$, симметричную точке $A$ относительно начала координат. Проверим, лежит ли она на графике. Для этого подставим ее координаты в уравнение гиперболы. Вместо $x$ подставим $-x_0$: $y = \frac{k}{-x_0} = -\frac{k}{x_0}$. Поскольку мы знаем, что $\frac{k}{x_0} = y_0$, получаем $y = -y_0$. Это означает, что точка с координатами $(-x_0, -y_0)$ удовлетворяет уравнению гиперболы.

Так как для каждой точки гиперболы симметричная ей относительно начала координат точка также лежит на гиперболе, то начало координат является ее центром симметрии. Это свойство также объясняется тем, что функция $y=\frac{k}{x}$ является нечетной, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$.

Ответ: Начало координат является центром симметрии гиперболы $y=\frac{k}{x}$, так как для любой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей гиперболе, симметричная ей относительно начала координат точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит этой гиперболе.

4. В каких координатных четвертях расположена гипербола: $y=\frac{11}{x}$; $y=-\frac{11}{x}$?

Расположение ветвей гиперболы вида $y=\frac{k}{x}$ определяется знаком коэффициента $k$.

Для гиперболы $y=\frac{11}{x}$, коэффициент $k = 11 > 0$. Из уравнения следует, что произведение координат $xy = 11$, то есть оно положительно. Это возможно только в тех случаях, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.

• Если $x > 0$, то и $y > 0$ — это I координатная четверть.
• Если $x < 0$, то и $y < 0$ — это III координатная четверть.

Для гиперболы $y=-\frac{11}{x}$, коэффициент $k = -11 < 0$. Из уравнения следует, что произведение координат $xy = -11$, то есть оно отрицательно. Это возможно только в тех случаях, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки.

• Если $x < 0$, то $y > 0$ — это II координатная четверть.
• Если $x > 0$, то $y < 0$ — это IV координатная четверть.

Ответ: Гипербола $y=\frac{11}{x}$ расположена в I и III координатных четвертях. Гипербола $y=-\frac{11}{x}$ расположена во II и IV координатных четвертях.

27.1. Принадлежит ли графику функции $y=\frac{1}{x}$ точка:

1) A(2; 0,5);

2) B(-3; 4,3);

3) C(-10; -0,1);

4) M(-0,2; -5)?

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции $y = \frac{1}{x}$, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ получится верное числовое равенство ($y_0 = \frac{1}{x_0}$), то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) A(2; 0,5);

Подставляем координаты точки A в уравнение функции: $x = 2$, $y = 0,5$.

$0,5 = \frac{1}{2}$

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{2} = 0,5$.

Получаем верное равенство: $0,5 = 0,5$.

Следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

2) B(-3; 4,3);

Подставляем координаты точки B в уравнение функции: $x = -3$, $y = 4,3$.

$4,3 = \frac{1}{-3}$

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \approx -0,33...$

Получаем неверное равенство: $4,3 \neq -\frac{1}{3}$.

Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

3) C(-10; -0,1);

Подставляем координаты точки C в уравнение функции: $x = -10$, $y = -0,1$.

$-0,1 = \frac{1}{-10}$

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{-10} = -0,1$.

Получаем верное равенство: $-0,1 = -0,1$.

Следовательно, точка C принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

4) M(-0,2; -5)?

Подставляем координаты точки M в уравнение функции: $x = -0,2$, $y = -5$.

$-5 = \frac{1}{-0,2}$

Преобразуем правую часть: $\frac{1}{-0,2} = \frac{1}{-\frac{2}{10}} = \frac{1}{-\frac{1}{5}} = 1 \cdot (-5) = -5$.

Получаем верное равенство: $-5 = -5$.

Следовательно, точка M принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

27.2. Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$. По графику найдите:

1) значение функции, соответствующее значению аргумента $x = -3; -0.6; 5; 30;$

2) значение аргумента $x$, которому соответствует значение функции $y = -2; -1.5; 0.5; 2.5; 4;$

3) $f(0.5) + f(3); f(1) - f(-1.5); f(2) - 2f(3); f(-0.3) + 3f(1.5)$, если $y = f(x)$.

Сначала построим график функции $y = \frac{3}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения составим таблицу значений:

График функции $y = \frac{3}{x}$:

Теперь найдем требуемые значения по графику. Для точности будем использовать формулу $y = \frac{3}{x}$.

1) значение функции, соответствующее значению аргумента $x = -3; -0,6; 5; 30;$
Подставляем значения $x$ в формулу функции:
При $x = -3$, $y = \frac{3}{-3} = -1$.
При $x = -0,6$, $y = \frac{3}{-0,6} = \frac{30}{-6} = -5$.
При $x = 5$, $y = \frac{3}{5} = 0,6$.
При $x = 30$, $y = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: $y(-3)=-1$; $y(-0,6)=-5$; $y(5)=0,6$; $y(30)=0,1$.

2) значение аргумента x, которому соответствует значение функции $y = -2; -1,5; 0,5; 2,5; 4;$
Из формулы $y = \frac{3}{x}$ выражаем $x$: $x = \frac{3}{y}$. Подставляем значения $y$:
При $y = -2$, $x = \frac{3}{-2} = -1,5$.
При $y = -1,5$, $x = \frac{3}{-1,5} = \frac{30}{-15} = -2$.
При $y = 0,5$, $x = \frac{3}{0,5} = \frac{30}{5} = 6$.
При $y = 2,5$, $x = \frac{3}{2,5} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1,2$.
При $y = 4$, $x = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: при $y=-2, x=-1,5$; при $y=-1,5, x=-2$; при $y=0,5, x=6$; при $y=2,5, x=1,2$; при $y=4, x=0,75$.

3) $f(0,5) + f(3); f(1) - f(-1,5); f(2) - 2f(3); f(-0,3) + 3f(1,5)$, если $y = f(x)$.
Так как $y = f(x)$, то $f(x) = \frac{3}{x}$. Вычислим значения выражений:
$f(0,5) + f(3) = \frac{3}{0,5} + \frac{3}{3} = 6 + 1 = 7$.
$f(1) - f(-1,5) = \frac{3}{1} - \frac{3}{-1,5} = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$.
$f(2) - 2f(3) = \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{3}{3} = 1,5 - 2 \cdot 1 = 1,5 - 2 = -0,5$.
$f(-0,3) + 3f(1,5) = \frac{3}{-0,3} + 3 \cdot \frac{3}{1,5} = -10 + 3 \cdot 2 = -10 + 6 = -4$.
Ответ: $7$; $5$; $-0,5$; $-4$.

27.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций: $y = \frac{2}{x}$; $y = \frac{4}{x}$; $y = -\frac{2}{x}$; $y = -\frac{4}{x}$; $y = \frac{0,5}{x}$.

Все представленные функции являются частным случаем функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где $k \ne 0$. Графиком такой функции является гипербола. Оси координат (ось Ox и ось Oy) являются асимптотами для всех этих графиков.

Положение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, то ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Если $k < 0$, то ветви располагаются во II и IV координатных четвертях.

Абсолютное значение коэффициента $|k|$ влияет на "растяжение" графика от начала координат. Чем больше значение $|k|$, тем дальше от осей координат расположены ветви гиперболы.

Для построения графиков найдем несколько контрольных точек для каждой функции.

$y = \frac{2}{x}$

Здесь $k=2$, $k > 0$, значит ветви графика находятся в I и III четвертях. Контрольные точки: $(-4; -0.5)$, $(-2; -1)$, $(-1; -2)$, $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(4; 0.5)$.

$y = \frac{4}{x}$

Здесь $k=4$, $k > 0$, ветви также в I и III четвертях. Поскольку $|4| > |2|$, этот график будет "дальше" от осей, чем график $y = \frac{2}{x}$. Контрольные точки: $(-4; -1)$, $(-2; -2)$, $(-1; -4)$, $(1; 4)$, $(2; 2)$, $(4; 1)$.

$y = -\frac{2}{x}$

Здесь $k=-2$, $k < 0$, значит ветви графика находятся во II и IV четвертях. Этот график является зеркальным отражением графика $y = \frac{2}{x}$ относительно начала координат. Контрольные точки: $(-4; 0.5)$, $(-2; 1)$, $(-1; 2)$, $(1; -2)$, $(2; -1)$, $(4; -0.5)$.

$y = -\frac{4}{x}$

Здесь $k=-4$, $k < 0$, ветви во II и IV четвертях. Так как $|-4| > |-2|$, этот график будет "дальше" от осей, чем график $y = -\frac{2}{x}$. Контрольные точки: $(-4; 1)$, $(-2; 2)$, $(-1; 4)$, $(1; -4)$, $(2; -2)$, $(4; -1)$.

$y = \frac{0,5}{x}$

Здесь $k=0,5$, $k > 0$, ветви в I и III четвертях. Так как $|0,5|$ - наименьшее по модулю значение среди положительных $k$, этот график будет "ближе" всего к осям координат. Контрольные точки: $(-2; -0.25)$, $(-1; -0.5)$, $(-0.5; -1)$, $(0.5; 1)$, $(1; 0.5)$, $(2; 0.25)$.

Ответ:

Ниже представлены графики всех пяти функций, построенные в одной координатной плоскости.

27.4. Функция задана формулой: $y = - \frac{5}{x}$. Заполните таблицу 27.3.

Таблица 27.3

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента $x$ найти соответствующее значение функции $y$, подставив $x$ в формулу $y = -\frac{5}{x}$.

При $x = -5$

Подставляем значение $x = -5$ в формулу функции:

$y = - \frac{5}{-5} = 1$

При $x = -2$

Подставляем значение $x = -2$ в формулу функции:

$y = - \frac{5}{-2} = \frac{5}{2} = 2,5$

При $x = -1$

Подставляем значение $x = -1$ в формулу функции:

$y = - \frac{5}{-1} = 5$

При $x = 1$

Подставляем значение $x = 1$ в формулу функции:

$y = - \frac{5}{1} = -5$

При $x = 2$

Подставляем значение $x = 2$ в формулу функции:

$y = - \frac{5}{2} = -2,5$

При $x = 5$

Подставляем значение $x = 5$ в формулу функции:

$y = - \frac{5}{5} = -1$

Внесем полученные значения в таблицу.

Ответ: