Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример генеральной совокупности и случайной выборки.

2. Является ли вариационным рядом последовательность 1 149 641, 1 175 208, 1 209 485, 1 247 896, 1 287 246, 1 324 739, 1 365 105, которая показывает численность населения (количество человек), проживающего в г. Алматы на начало года, в период с 2003 г. по 2009 г.?

1. Генеральная совокупность — это вся совокупность исследуемых объектов, из которых делается выборка. Это полная группа, о которой мы хотим сделать выводы.

Случайная выборка — это часть генеральной совокупности, отобранная случайным образом так, что каждый объект имеет равные шансы попасть в неё. Выборка должна быть репрезентативной, то есть отражать характеристики всей генеральной совокупности.

Пример:

Предположим, мы хотим узнать средний рост учеников 10-х классов во всем городе.

Генеральная совокупность: все без исключения ученики 10-х классов всех школ данного города.

Случайная выборка: 200 учеников 10-х классов, выбранных случайным образом из списков всех школ города. На основе данных по этой выборке (измерив рост этих 200 учеников) можно сделать вывод о среднем росте всех десятиклассников города.

Ответ: Генеральная совокупность – все избиратели страны. Случайная выборка – 10 000 избирателей, опрошенных в рамках экзит-полла, выбранных случайным образом на разных избирательных участках.

2. Для ответа на этот вопрос необходимо определить, что такое вариационный ряд.

Вариационный ряд — это упорядоченная последовательность значений какого-либо признака, полученных при изучении группы объектов в один и тот же момент времени. Он показывает распределение единиц совокупности по исследуемому признаку. Например, если бы мы взяли данные о численности населения всех областных центров Казахстана на 1 января 2009 года и расположили их в порядке возрастания, это был бы вариационный ряд.

Представленная в задаче последовательность: 1 149 641, 1 175 208, 1 209 485, 1 247 896, 1 287 246, 1 324 739, 1 365 105 — показывает изменение численности населения одного и того же объекта (города Алматы) в разные моменты времени (с 2003 по 2009 год). Такая последовательность называется динамическим рядом (или временным рядом).

Хотя числа в данной последовательности расположены в порядке возрастания (то есть ряд является упорядоченным), по своей сути он характеризует не распределение признака, а его изменение во времени.

Ответ: Нет, данная последовательность не является вариационным рядом. Это динамический ряд, так как он показывает изменение одного показателя (численность населения) во времени.

28.1. Из перечисленных последовательностей укажите вариационные ряды:

1) 1, 12, 13, 15, 16, 21, 22, 24, 26;

2) -17, -15, -13, -11, -10, -9, -8, -5, -4;

3) 111, 112, 113, 125, 126, 121, 122, 124, 126;

4) 101, 102, 103, 105, 216, 221, 222, 224, 326, 334, 339.

Вариационный ряд — это последовательность числовых значений (вариант), расположенных в порядке неубывания или невозрастания. Для того чтобы последовательность была вариационным рядом (в данном случае, неубывающим), каждый её член, начиная со второго, должен быть не меньше предыдущего ($x_i \le x_{i+1}$). Проверим каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

1) 1, 12, 13, 15, 16, 21, 22, 24, 26.
В этой последовательности каждый следующий элемент больше предыдущего: $1 < 12 < 13 < 15 < 16 < 21 < 22 < 24 < 26$. Условие неубывания выполняется для всех членов ряда. Следовательно, данная последовательность является вариационным рядом.
Ответ: является вариационным рядом.

2) –17, –15, –13, –11, –10, –9, –8, –5, –4.
В этой последовательности отрицательных чисел также выполняется условие неубывания. Каждый следующий элемент больше предыдущего: $-17 < -15 < -13 < \dots < -4$. Таким образом, это вариационный ряд.
Ответ: является вариационным рядом.

3) 111, 112, 113, 125, 126, 121, 122, 124, 126.
Проанализируем эту последовательность. До элемента 126 ряд является неубывающим ($111 < 112 < \dots < 126$). Однако следующий за ним элемент, 121, нарушает этот порядок, так как $126 > 121$. Поскольку последовательность не упорядочена, она не является вариационным рядом.
Ответ: не является вариационным рядом.

4) 101, 102, 103, 105, 216, 221, 222, 224, 326, 334, 339.
В данной последовательности, как и в первой, каждый следующий элемент больше предыдущего. Условие неубывания ($x_i \le x_{i+1}$) соблюдается на всем протяжении ряда: $101 < 102 < 103 < \dots < 339$. Следовательно, это вариационный ряд.
Ответ: является вариационным рядом.

28.2. Запишите рост каждого учащегося класса согласно списку.

Будут ли записанные значения роста учащихся вариационным рядом? Обоснуйте ответ.

Запишите рост каждого учащегося класса согласно списку.

Для ответа на этот вопрос необходимо провести сбор данных. Поскольку реальные данные отсутствуют, приведем гипотетический пример. Предположим, мы измерили рост 12 учащихся класса и записали полученные значения (в сантиметрах) в том порядке, в котором фамилии учеников расположены в классном журнале (т.е. в алфавитном порядке).
Такой список может выглядеть следующим образом:
$168, 175, 162, 181, 170, 165, 176, 172, 169, 184, 175, 171$.
Это первоначальный, или "сырой", набор данных, полученный в ходе наблюдения.

Ответ: Пример списка роста учащихся (в см), записанного согласно классному журналу: $168, 175, 162, 181, 170, 165, 176, 172, 169, 184, 175, 171$.

Будут ли записанные значения роста учащихся вариационным рядом? Обоснуйте ответ.

Нет, в общем случае записанные таким образом значения роста учащихся не будут являться вариационным рядом.
Обоснование:
Вариационным (или ранжированным) рядом в статистике называется последовательность вариант (значений признака), расположенных в порядке неубывания (т. е. от наименьшего значения к наибольшему) или невозрастания. Ключевым свойством вариационного ряда является упорядоченность его элементов по величине.
В задаче значения роста записываются "согласно списку", то есть в порядке, продиктованном, как правило, алфавитным порядком фамилий учеников. Не существует никакой закономерности, связывающей рост человека и первую букву его фамилии. Поэтому полученный ряд значений будет неупорядоченным (случайным) относительно величины роста.
Чтобы преобразовать наш пример в вариационный ряд, необходимо упорядочить (ранжировать) данные по возрастанию:
$162, 165, 168, 169, 170, 171, 172, 175, 175, 176, 181, 184$.
Только после такого упорядочивания мы получим вариационный ряд. Исходный же список, составленный по журналу, им не является.

Ответ: Нет, не будут, так как вариационный ряд — это упорядоченная по возрастанию или убыванию последовательность значений, а запись роста по алфавитному списку класса не обеспечивает такой упорядоченности.

28.3. Температура воздуха днем в г. Астане в период с 9 ноября до 19 ноября 2016 г. представлена в виде ряда:

$-2^\circ, -6^\circ, -2^\circ, -3^\circ, -13^\circ, -14^\circ, -10^\circ, -5^\circ, -3^\circ, -7^\circ.$

Является ли данный ряд вариационным? Обоснуйте ответ.

Является ли данный ряд вариационным? Обоснуйте ответ.

Представленный ряд температур: $-2^\circ, -6^\circ, -2^\circ, -3^\circ, -13^\circ, -14^\circ, -10^\circ, -5^\circ, -3^\circ, -7^\circ$.

Вариационным рядом называется упорядоченный ряд данных, то есть ряд, в котором его элементы (варианты) расположены в порядке возрастания (неубывания) или в порядке убывания (невозрастания).

Для того чтобы определить, является ли данный ряд вариационным, проверим, упорядочены ли его элементы.

1. Проверка на упорядоченность по возрастанию. В этом случае каждый следующий элемент должен быть больше или равен предыдущему.
Сравним первый и второй элементы ряда: $-2$ и $-6$. Поскольку $-6 < -2$, порядок возрастания нарушен. Следовательно, ряд не является возрастающим.

2. Проверка на упорядоченность по убыванию. В этом случае каждый следующий элемент должен быть меньше или равен предыдущему.
Сравним последовательно несколько пар элементов:
$-2 \ge -6$ — верно.
$-6 \ge -2$ — неверно, так как $-6 < -2$.
Поскольку уже на второй паре элементов порядок убывания нарушается, ряд не является убывающим.

Так как элементы данного ряда не упорядочены ни по возрастанию, ни по убыванию, он не является вариационным. Это набор первичных ("сырых") статистических данных. Чтобы получить из этих данных вариационный ряд, их необходимо ранжировать, то есть упорядочить. Например, вариационный ряд, упорядоченный по возрастанию, будет выглядеть так:
$-14^\circ, -13^\circ, -10^\circ, -7^\circ, -6^\circ, -5^\circ, -3^\circ, -3^\circ, -2^\circ, -2^\circ$.

Ответ: Нет, данный ряд не является вариационным, так как его элементы не упорядочены ни по возрастанию, ни по убыванию.

28.4. Является ли данная последовательность $1, 1, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 11, 11, 12, 12$ вариационным рядом? Запишите варианту, которая повторяется наибольшее число раз. Запишите варианту, которая повторяется наименьшее число раз. Запишите наибольшее и наименьшее значения варианты.

Является ли данная последовательность 1, 1, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 11, 11, 12, 12 вариационным рядом?
Вариационный ряд — это последовательность вариант (значений), расположенных в порядке неубывания (или невозрастания). Проверим данную последовательность: $1, 1, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 11, 11, 12, 12$. Каждый последующий элемент в этой последовательности больше или равен предыдущему. Это означает, что последовательность упорядочена по неубыванию. Следовательно, она является вариационным рядом.
Ответ: да, является.

Запишите варианту, которая повторяется наибольшее число раз.
Чтобы найти варианту, которая повторяется наибольшее число раз (моду ряда), нужно подсчитать, сколько раз встречается каждое уникальное значение (варианта) в последовательности.
Частота варианты $1$: $2$ раза
Частота варианты $3$: $2$ раза
Частота варианты $4$: $4$ раза
Частота варианты $5$: $2$ раза
Частота варианты $6$: $5$ раз
Частота варианты $7$: $2$ раза
Частота варианты $8$: $1$ раз
Частота варианты $9$: $2$ раза
Частота варианты $11$: $2$ раза
Частота варианты $12$: $2$ раза
Наибольшая частота — $5$. Эта частота соответствует варианте $6$.
Ответ: $6$.

Запишите варианту, которая повторяется наименьшее число раз.
Используя подсчет частот из предыдущего пункта, мы видим, что наименьшая частота равна $1$. Эта частота соответствует варианте $8$.
Ответ: $8$.

Запишите наибольшее и наименьшее значения варианты.
Поскольку данный вариационный ряд упорядочен по возрастанию, его наименьшее значение — это первый элемент, а наибольшее — последний. Наименьшее значение (варианта) в ряду — это $1$. Наибольшее значение (варианта) — это $12$.
Ответ: наименьшее значение — $1$, наибольшее значение — $12$.

28.5. Назовите генеральную совокупность для выборки.

Составьте вариационный ряд масс животных, приведенный в таблице 28.1.

Таблица 28.1

Вариационный ряд масс животных:

Заяц: 3,5 кг, Лисица: 5 кг, Косуля: 25 кг, Кабан: 36 кг, Лось: 45 кг, Волк: 50 кг, Медведь: 60 кг.

Назовите генеральную совокупность для выборки. Генеральная совокупность — это множество всех объектов, из которых производится выборка и о которых делаются выводы. Выборка в данном случае — это набор масс нескольких видов диких животных. Исходя из этого, генеральной совокупностью является множество масс всех объектов, из которых была сделана эта выборка. Это могут быть, например, массы всех диких животных, обитающих в определенном лесу или регионе. В самом общем смысле, это множество всех возможных значений изучаемого признака.
Ответ: Множество масс всех диких животных.

Составьте вариационный ряд масс животных, приведенный в таблице 28.1. Вариационный ряд — это последовательность числовых данных выборки, расположенных в порядке неубывания (то есть по возрастанию).
Массы животных из таблицы (в кг): $60, 50, 5, 3.5, 25, 45, 36$.
Чтобы составить вариационный ряд, необходимо упорядочить эти значения от наименьшего к наибольшему:
$3.5 < 5 < 25 < 36 < 45 < 50 < 60$.
Запишем упорядоченную последовательность.
Ответ: $3.5; 5; 25; 36; 45; 50; 60$.