Страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.5. Имеет ли корни уравнение:

$-\frac{5}{x} = 3x+2$;

$-\frac{2.5}{x} = 5$;

$\frac{4}{x} = -x$;

$\frac{6}{x} = 4x - 3?$

1) Чтобы определить, имеет ли уравнение $ \frac{5}{x}=3x+2 $ корни, приведем его к стандартному виду. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):
$5 = x(3x+2)$
$5 = 3x^2+2x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$3x^2+2x-5=0$
Наличие действительных корней у квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=3$, $b=2$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 - (-60) = 4 + 60 = 64$
Поскольку $D=64 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны нулю (проверка: $3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = -5 \neq 0$), следовательно, они удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, исходное уравнение имеет корни.
Ответ: Да, имеет.

2) Рассмотрим уравнение $-\frac{2,5}{x}=5$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Это простое уравнение, которое можно решить напрямую. Умножим обе части на $x$ :
$-2,5 = 5x$
Выразим $x$ :
$x = \frac{-2,5}{5} = -0,5$
Полученное значение $x=-0,5$ не равно нулю, значит, оно является корнем исходного уравнения.
Ответ: Да, имеет.

3) Рассмотрим уравнение $\frac{4}{x}=-x$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ :
$4 = -x^2$
Перепишем уравнение в виде:
$x^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а $-4 < 0$, то данное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Можно также найти дискриминант уравнения $x^2+4=0$, где $a=1, b=0, c=4$:
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16$
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Нет, не имеет.

4) Рассмотрим уравнение $\frac{6}{x}=4x-3$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ :
$6 = x(4x-3)$
$6 = 4x^2-3x$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$4x^2-3x-6=0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4, b=-3, c=-6$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 9 - (-96) = 9 + 96 = 105$
Поскольку $D=105 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны нулю (проверка: $4 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 - 6 = -6 \neq 0$), поэтому они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: Да, имеет.

27.6. Решите уравнение графическим способом:

1) $4 = -\frac{2}{x}$;

2) $3 = \frac{4}{x}$;

3) $x = -\frac{2}{x}$;

4) $2x = -\frac{5}{x}$;

5) $x^2 = \frac{1}{x}$;

6) $x^3 = -x^2$;

7) $x^2 = x + 2$;

8) $0.25x^2 = \frac{2}{x}$.

1) Чтобы решить уравнение $4 = -\frac{2}{x}$ графическим способом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 4$ и $y_2 = -\frac{2}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса точки (или точек) пересечения этих графиков.

График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), проходящая через точку $(0; 4)$.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Построим графики этих функций.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(-0.5; 4)$. Абсцисса этой точки равна $-0.5$.

Ответ: $x = -0.5$.

2) Рассмотрим две функции: $y_1 = 3$ и $y_2 = \frac{4}{x}$. Решением уравнения $3 = \frac{4}{x}$ является абсцисса точки пересечения их графиков.

График $y = 3$ — прямая, параллельная оси Ox.

График $y = \frac{4}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Графики пересекаются в одной точке с абсциссой $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

3) Для решения уравнения $x = -\frac{2}{x}$ построим графики функций $y_1 = x$ и $y_2 = -\frac{2}{x}$.

График $y = x$ — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

График $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

Графики функций не пересекаются, так как один расположен в I и III четвертях, а другой — во II и IV. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

4) Рассмотрим функции $y_1 = 2x$ и $y_2 = -\frac{5}{x}$. Решением уравнения $2x = -\frac{5}{x}$ будет абсцисса точки их пересечения.

График $y = 2x$ — прямая, проходящая через начало координат.

График $y = -\frac{5}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

Прямая $y=2x$ лежит в I и III четвертях, а гипербола $y=-\frac{5}{x}$ — во II и IV. Графики не пересекаются.

Ответ: нет корней.

5) Для решения уравнения $x^2 = \frac{1}{x}$ построим графики функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = \frac{1}{x}$.

График $y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Парабола и гипербола пересекаются в одной точке в первой четверти. Координаты этой точки $(1; 1)$. Абсцисса точки пересечения $x=1$. В третьей четверти пересечений нет, так как парабола $y=x^2$ принимает только неотрицательные значения.

Ответ: $x = 1$.

6) Для решения уравнения $x^3 = -x^2$ построим графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = -x^2$.

График $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях.

График $y = -x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

Графики пересекаются в двух точках. Первая точка — начало координат $(0; 0)$. Вторая точка имеет координаты $(-1; -1)$. Абсциссы этих точек: $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $x = -1; x = 0$.

7) Для решения уравнения $x^2 = x + 2$ построим графики функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = x + 2$.

График $y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат, ветви вверх.

График $y = x + 2$ — прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$.

Парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(-1; 1)$ и $(2; 4)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1; x = 2$.

8) Для решения уравнения $0.25x^2 = \frac{2}{x}$ построим графики функций $y_1 = 0.25x^2$ и $y_2 = \frac{2}{x}$.

График $y = 0.25x^2$ (или $y=\frac{1}{4}x^2$) — парабола, более "широкая", чем $y=x^2$, с вершиной в начале координат и ветвями вверх.

График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Графики пересекаются в одной точке $(2; 1)$. Абсцисса этой точки $x=2$ является решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.

27.7. Пересекается ли график функции $f(x)=-\frac{5}{x}$ с графиком функции:

1) $y=-x+3;$

2) $y=2x;$

3) $y=x+1;$

4) $y=-3x-3.5;$

5) $y=-x^2;$

6) $y=-0.5x^3;$

7) $y=\frac{1}{3}x^2;$

8) $y=|x|?$

Чтобы определить, пересекается ли график функции $f(x) = -\frac{5}{x}$ с графиком другой функции, необходимо приравнять их выражения и проверить, имеет ли получившееся уравнение действительные корни. Если уравнение имеет хотя бы один действительный корень, графики пересекаются.

1) $y = -x + 3$
Для нахождения точек пересечения графиков функций $f(x) = -\frac{5}{x}$ и $y = -x + 3$ решим уравнение $f(x) = y$:
$-\frac{5}{x} = -x + 3$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$-5 = -x^2 + 3x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 3x - 5 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, графики функций пересекаются.
Ответ: пересекается.

2) $y = 2x$
Приравняем правые части функций: $-\frac{5}{x} = 2x$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = 2x^2$
$x^2 = -\frac{5}{2}$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики функций не пересекаются.
Ответ: не пересекается.

3) $y = x + 1$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = x + 1$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = x^2 + x$
$x^2 + x + 5 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Графики не пересекаются.
Ответ: не пересекается.

4) $y = -3x - 3,5$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = -3x - 3,5$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = -3x^2 - 3,5x$
$3x^2 + 3,5x - 5 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (3,5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 12,25 + 60 = 72,25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

5) $y = -x^2$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = -x^2$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = -x^3$
$x^3 = 5$
$x = \sqrt[3]{5}$
Уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

6) $y = -0,5 x^3$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = -0,5x^3$.
$-\frac{5}{x} = -\frac{1}{2}x^3$
Умножим обе части на $-2x$ ($x \neq 0$):
$10 = x^4$
$x = \pm\sqrt[4]{10}$
Уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

7) $y = \frac{1}{3}x^2$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = \frac{1}{3}x^2$.
Умножим обе части на $3x$ ($x \neq 0$):
$-15 = x^3$
$x = \sqrt[3]{-15} = -\sqrt[3]{15}$
Уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

8) $y = |x|$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = |x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$-\frac{5}{x} = x \implies -5 = x^2$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-\frac{5}{x} = -x \implies \frac{5}{x} = x \implies 5 = x^2$.
Корни этого уравнения $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x = -\sqrt{5}$.
Так как существует действительный корень, графики функций пересекаются.
Ответ: пересекается.

27.8*. Могут ли графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться:

1) только в одной точке;

2) только в двух точках;

3) в трех точках?

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = ax + b \end{cases} $

Приравнивая правые части уравнений, получаем:

$\frac{4}{x} = ax + b$

Поскольку $x \neq 0$ (из области определения функции $y = \frac{4}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$4 = ax^2 + bx$

Перенеся все члены в одну сторону, получим уравнение относительно $x$:

$ax^2 + bx - 4 = 0$

Количество точек пересечения графиков равно количеству действительных корней этого уравнения.

1) только в одной точке

Графики могут пересекаться в одной точке, если уравнение $ax^2 + bx - 4 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.
В этом случае прямая является горизонтальной ($y=b$). Уравнение становится линейным: $bx - 4 = 0$. Если $b \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{4}{b}$. Например, при $a=0$ и $b=1$ прямая $y = 1$ пересекает гиперболу $y = \frac{4}{x}$ в одной точке $(4, 1)$.

Случай 2: $a \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант равен нулю. $D = b^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = b^2 + 16a$. $D = 0 \implies b^2 + 16a = 0$. Это возможно, если $a$ и $b$ таковы, что $a = -\frac{b^2}{16}$. Поскольку $b^2 \ge 0$, это требует, чтобы $a \le 0$. Например, выберем $a = -1$. Тогда $b^2 + 16(-1) = 0 \implies b^2 = 16 \implies b = 4$ или $b = -4$. Возьмем $a = -1$ и $b = 4$. Прямая $y = -x + 4$ является касательной к гиперболе. Уравнение для нахождения точек пересечения: $-x^2 + 4x - 4 = 0$, или $x^2 - 4x + 4 = 0$, что равносильно $(x-2)^2 = 0$. Уравнение имеет один корень $x=2$. Точка пересечения (касания) — $(2, 2)$.

Графическая иллюстрация касания прямой $y=-x+4$ и гиперболы $y=4/x$:

Ответ: да, могут.

2) только в двух точках

Графики могут пересекаться в двух точках, если уравнение $ax^2 + bx - 4 = 0$ имеет два различных действительных корня. Это возможно только в случае, когда $a \neq 0$, и дискриминант уравнения положителен. $D = b^2 + 16a > 0$.

Это условие легко выполнить. Например, если $a > 0$, то $16a > 0$, и так как $b^2 \ge 0$, дискриминант $D = b^2 + 16a$ всегда будет положительным. Возьмем $a=1, b=0$. Прямая $y = x$. Уравнение: $x^2 - 4 = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = -2$. Точки пересечения: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Если $a < 0$, то для двух точек пересечения должно выполняться условие $b^2 > -16a$. Например, при $a=-1$ нужно, чтобы $b^2 > 16$. Возьмем $b=5$. Прямая $y = -x + 5$. Уравнение: $-x^2+5x-4=0 \implies x^2-5x+4=0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = 4$. Точки пересечения: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Графическая иллюстрация пересечения прямой $y=x$ и гиперболы $y=4/x$:

Ответ: да, могут.

3) в трех точках

Количество точек пересечения определяется количеством действительных корней уравнения $ax^2 + bx - 4 = 0$.

Если $a \neq 0$, это уравнение является квадратным. Квадратное уравнение может иметь не более двух действительных корней.

Если $a = 0$, это уравнение является линейным ($bx-4=0$). Линейное уравнение может иметь не более одного действительного корня.

В любом случае, уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения может иметь максимум два решения. Следовательно, прямая и гипербола не могут пересекаться более чем в двух точках.

Ответ: нет, не могут.

27.9. Постройте график функции:

1) $y = \frac{2}{x}$;

2) $y = -\frac{2}{x}$;

3) $y = -\frac{1}{|-x|}$;

4) $y = \frac{-0,2}{|x|}$.

1) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=2$. Графиком является гипербола.

Свойства функции:
1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).
4. Так как $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу значений для построения графика:
при $x=0.5$, $y=4$;
при $x=1$, $y=2$;
при $x=2$, $y=1$;
при $x=4$, $y=0.5$;
при $x=-0.5$, $y=-4$;
при $x=-1$, $y=-2$;
при $x=-2$, $y=-1$;
при $x=-4$, $y=-0.5$.

Построим график по этим точкам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

2) $y = -\frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-2$. Графиком является гипербола.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).
4. Так как $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. График этой функции можно получить, отразив график функции $y=\frac{2}{x}$ относительно оси Ox или Oy.

Составим таблицу значений для построения графика:
при $x=0.5$, $y=-4$;
при $x=1$, $y=-2$;
при $x=2$, $y=-1$;
при $x=4$, $y=-0.5$;
при $x=-0.5$, $y=4$;
при $x=-1$, $y=2$;
при $x=-2$, $y=1$;
при $x=-4$, $y=0.5$.

Построим график по этим точкам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

3) $y = -\frac{1}{|-x|}$

Упростим выражение: так как $|-x| = |x|$, то функция принимает вид $y = -\frac{1}{|x|}$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{1}{|-(-x)|} = -\frac{1}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: поскольку $|x| > 0$ для всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{|x|} > 0$, а значит $y = -\frac{1}{|x|} < 0$. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0)$.
4. Рассмотрим функцию при $x > 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция становится $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в IV четверти.
5. В силу симметрии относительно оси Oy, при $x < 0$ график будет зеркальным отражением части для $x > 0$. Это даст нам ветвь в III четверти.

Составим таблицу значений для $x > 0$:
при $x=0.2$, $y=-5$;
при $x=0.5$, $y=-2$;
при $x=1$, $y=-1$;
при $x=2$, $y=-0.5$.
Значения для $x < 0$ будут такими же из-за четности функции: при $x=-1$, $y=-1$; при $x=-2$, $y=-0.5$ и т.д.

Построим график.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

4) $y = \frac{-0.2}{|x|}$

Эту функцию можно записать как $y = - \frac{0.2}{|x|}$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: $y < 0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0)$.
4. При $x > 0$, функция имеет вид $y = -\frac{0.2}{x}$. Это ветвь гиперболы в IV четверти.
5. Ветвь для $x < 0$ получается отражением ветви для $x > 0$ относительно оси Oy и находится в III четверти.
6. График похож на график из предыдущего пункта, но "сжат" к оси Ox в 5 раз ($0.2 = 1/5$).

Составим таблицу значений для $x > 0$:
при $x=0.1$, $y=-2$;
при $x=0.2$, $y=-1$;
при $x=1$, $y=-0.2$;
при $x=2$, $y=-0.1$.
Значения для $x < 0$ симметричны: при $x=-1$, $y=-0.2$; при $x=-2$, $y=-0.1$.

Построим график.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

27.10*. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = \frac{2}{|x|}$ на промежутке:

1) [2,4; 5];

2) [-2,4; -1];

3) [-3,5; -0,5];

4) [4; 12].

Дана функция $f(x) = \frac{2}{|x|}$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных промежутках, исследуем ее поведение.
Функция является четной, так как $f(-x) = \frac{2}{|-x|} = \frac{2}{|x|} = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Рассмотрим поведение функции на двух интервалах:
1. При $x > 0$ функция имеет вид $f(x) = \frac{2}{x}$. График функции — гипербола, которая убывает на всем интервале $(0, +\infty)$. Следовательно, чем больше значение $x$, тем меньше значение $f(x)$.
2. При $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = \frac{2}{-x}$. Эта функция возрастает на всем интервале $(-\infty, 0)$. Следовательно, чем больше значение $x$ (т.е. чем ближе $x$ к 0), тем больше значение $f(x)$.
Так как на каждом из заданных промежутков функция монотонна (либо только возрастает, либо только убывает), ее наибольшее и наименьшее значения на этих промежутках достигаются на концах промежутков.

1) [2,4; 5]

На промежутке $[2,4; 5]$ все значения $x$ положительны, поэтому $f(x) = \frac{2}{x}$. На этом промежутке функция убывает.
Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f(2,4) = \frac{2}{2,4} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
Наименьшее значение: $f(5) = \frac{2}{5}$.
Ответ: наибольшее значение равно $\frac{5}{6}$, наименьшее значение равно $\frac{2}{5}$.

2) [-2,4; -1]

На промежутке $[-2,4; -1]$ все значения $x$ отрицательны, поэтому $f(x) = \frac{2}{-x}$. На этом промежутке функция возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f(-2,4) = \frac{2}{|-2,4|} = \frac{2}{2,4} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
Наибольшее значение: $f(-1) = \frac{2}{|-1|} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: наибольшее значение равно $2$, наименьшее значение равно $\frac{5}{6}$.

3) [-3,5; -0,5]

На промежутке $[-3,5; -0,5]$ все значения $x$ отрицательны, поэтому $f(x) = \frac{2}{-x}$. На этом промежутке функция возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f(-3,5) = \frac{2}{|-3,5|} = \frac{2}{3,5} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$.
Наибольшее значение: $f(-0,5) = \frac{2}{|-0,5|} = \frac{2}{0,5} = 4$.
Ответ: наибольшее значение равно $4$, наименьшее значение равно $\frac{4}{7}$.

4) [4; 12]

На промежутке $[4; 12]$ все значения $x$ положительны, поэтому $f(x) = \frac{2}{x}$. На этом промежутке функция убывает.
Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Наименьшее значение: $f(12) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $\frac{1}{6}$.

27.11. График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $M(-4; 2)$. Проходит ли график этой функции через точку:

1) A(-1; 8);

2) B(3; -9);

3) C(0,5; -16);

4) K(-3; $2\frac{2}{3}$)?

Поскольку график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $M(-4; 2)$, то ее координаты удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x = -4$ и $y = 2$ в уравнение, чтобы найти коэффициент $k$.

$2 = \frac{k}{-4}$

Отсюда находим $k = 2 \cdot (-4) = -8$.

Таким образом, уравнение данной функции имеет вид $y = \frac{-8}{x}$.

Теперь проверим, проходит ли график этой функции через каждую из указанных точек. Для этого нужно подставить координаты каждой точки в полученное уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) A(-1; 8)
Подставляем $x = -1$ и $y = 8$ в уравнение $y = \frac{-8}{x}$:
$8 = \frac{-8}{-1}$
$8 = 8$
Равенство верное, значит, график функции проходит через точку A.
Ответ: Да.

2) B(3; -9)
Подставляем $x = 3$ и $y = -9$ в уравнение $y = \frac{-8}{x}$:
$-9 = \frac{-8}{3}$
$-9 \neq -2\frac{2}{3}$
Равенство неверное, значит, график функции не проходит через точку B.
Ответ: Нет.

3) C(0,5; -16)
Подставляем $x = 0,5$ и $y = -16$ в уравнение $y = \frac{-8}{x}$:
$-16 = \frac{-8}{0,5}$
$-16 = -16$
Равенство верное, значит, график функции проходит через точку C.
Ответ: Да.

4) K(-3; 2 2/3)
Представим смешанное число $2\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
Подставляем $x = -3$ и $y = \frac{8}{3}$ в уравнение $y = \frac{-8}{x}$:
$\frac{8}{3} = \frac{-8}{-3}$
$\frac{8}{3} = \frac{8}{3}$
Равенство верное, значит, график функции проходит через точку K.
Ответ: Да.