Номер 27.9, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.9. Постройте график функции:

1) $y = \frac{2}{x}$;

2) $y = -\frac{2}{x}$;

3) $y = -\frac{1}{|-x|}$;

4) $y = \frac{-0,2}{|x|}$.

1) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=2$. Графиком является гипербола.

Свойства функции:
1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. Записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. Записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).
4. Так как $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу значений для построения графика:
при $x=0.5$, $y=4$;
при $x=1$, $y=2$;
при $x=2$, $y=1$;
при $x=4$, $y=0.5$;
при $x=-0.5$, $y=-4$;
при $x=-1$, $y=-2$;
при $x=-2$, $y=-1$;
при $x=-4$, $y=-0.5$.

Построим график по этим точкам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

2) $y = -\frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-2$. Графиком является гипербола.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).
4. Так как $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. График этой функции можно получить, отразив график функции $y=\frac{2}{x}$ относительно оси Ox или Oy.

Составим таблицу значений для построения графика:
при $x=0.5$, $y=-4$;
при $x=1$, $y=-2$;
при $x=2$, $y=-1$;
при $x=4$, $y=-0.5$;
при $x=-0.5$, $y=4$;
при $x=-1$, $y=2$;
при $x=-2$, $y=1$;
при $x=-4$, $y=0.5$.

Построим график по этим точкам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

3) $y = -\frac{1}{|-x|}$

Упростим выражение: так как $|-x| = |x|$, то функция принимает вид $y = -\frac{1}{|x|}$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
2. Функция является четной, так как $y(-x) = -\frac{1}{|-(-x)|} = -\frac{1}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: поскольку $|x| > 0$ для всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{|x|} > 0$, а значит $y = -\frac{1}{|x|} < 0$. Таким образом, $E(y) = (-\infty; 0)$.
4. Рассмотрим функцию при $x > 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция становится $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в IV четверти.
5. В силу симметрии относительно оси Oy, при $x < 0$ график будет зеркальным отражением части для $x > 0$. Это даст нам ветвь в III четверти.

Составим таблицу значений для $x > 0$:
при $x=0.2$, $y=-5$;
при $x=0.5$, $y=-2$;
при $x=1$, $y=-1$;
при $x=2$, $y=-0.5$.
Значения для $x < 0$ будут такими же из-за четности функции: при $x=-1$, $y=-1$; при $x=-2$, $y=-0.5$ и т.д.

Построим график.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

4) $y = \frac{-0.2}{|x|}$

Эту функцию можно записать как $y = - \frac{0.2}{|x|}$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: $y < 0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0)$.
4. При $x > 0$, функция имеет вид $y = -\frac{0.2}{x}$. Это ветвь гиперболы в IV четверти.
5. Ветвь для $x < 0$ получается отражением ветви для $x > 0$ относительно оси Oy и находится в III четверти.
6. График похож на график из предыдущего пункта, но "сжат" к оси Ox в 5 раз ($0.2 = 1/5$).

Составим таблицу значений для $x > 0$:
при $x=0.1$, $y=-2$;
при $x=0.2$, $y=-1$;
при $x=1$, $y=-0.2$;
при $x=2$, $y=-0.1$.
Значения для $x < 0$ симметричны: при $x=-1$, $y=-0.2$; при $x=-2$, $y=-0.1$.

Построим график.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.