Номер 27.10, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.10*. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = \frac{2}{|x|}$ на промежутке:

1) [2,4; 5];

2) [-2,4; -1];

3) [-3,5; -0,5];

4) [4; 12].

Дана функция $f(x) = \frac{2}{|x|}$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных промежутках, исследуем ее поведение.
Функция является четной, так как $f(-x) = \frac{2}{|-x|} = \frac{2}{|x|} = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
Область определения функции: $x \neq 0$.
Рассмотрим поведение функции на двух интервалах:
1. При $x > 0$ функция имеет вид $f(x) = \frac{2}{x}$. График функции — гипербола, которая убывает на всем интервале $(0, +\infty)$. Следовательно, чем больше значение $x$, тем меньше значение $f(x)$.
2. При $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = \frac{2}{-x}$. Эта функция возрастает на всем интервале $(-\infty, 0)$. Следовательно, чем больше значение $x$ (т.е. чем ближе $x$ к 0), тем больше значение $f(x)$.
Так как на каждом из заданных промежутков функция монотонна (либо только возрастает, либо только убывает), ее наибольшее и наименьшее значения на этих промежутках достигаются на концах промежутков.

1) [2,4; 5]

На промежутке $[2,4; 5]$ все значения $x$ положительны, поэтому $f(x) = \frac{2}{x}$. На этом промежутке функция убывает.
Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f(2,4) = \frac{2}{2,4} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
Наименьшее значение: $f(5) = \frac{2}{5}$.
Ответ: наибольшее значение равно $\frac{5}{6}$, наименьшее значение равно $\frac{2}{5}$.

2) [-2,4; -1]

На промежутке $[-2,4; -1]$ все значения $x$ отрицательны, поэтому $f(x) = \frac{2}{-x}$. На этом промежутке функция возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f(-2,4) = \frac{2}{|-2,4|} = \frac{2}{2,4} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
Наибольшее значение: $f(-1) = \frac{2}{|-1|} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: наибольшее значение равно $2$, наименьшее значение равно $\frac{5}{6}$.

3) [-3,5; -0,5]

На промежутке $[-3,5; -0,5]$ все значения $x$ отрицательны, поэтому $f(x) = \frac{2}{-x}$. На этом промежутке функция возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f(-3,5) = \frac{2}{|-3,5|} = \frac{2}{3,5} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$.
Наибольшее значение: $f(-0,5) = \frac{2}{|-0,5|} = \frac{2}{0,5} = 4$.
Ответ: наибольшее значение равно $4$, наименьшее значение равно $\frac{4}{7}$.

4) [4; 12]

На промежутке $[4; 12]$ все значения $x$ положительны, поэтому $f(x) = \frac{2}{x}$. На этом промежутке функция убывает.
Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, а наименьшее — в правой.
Наибольшее значение: $f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Наименьшее значение: $f(12) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $\frac{1}{6}$.