Номер 27.8, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.8*. Могут ли графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться:

1) только в одной точке;

2) только в двух точках;

3) в трех точках?

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = ax + b$, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = ax + b \end{cases} $

Приравнивая правые части уравнений, получаем:

$\frac{4}{x} = ax + b$

Поскольку $x \neq 0$ (из области определения функции $y = \frac{4}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$4 = ax^2 + bx$

Перенеся все члены в одну сторону, получим уравнение относительно $x$:

$ax^2 + bx - 4 = 0$

Количество точек пересечения графиков равно количеству действительных корней этого уравнения.

1) только в одной точке

Графики могут пересекаться в одной точке, если уравнение $ax^2 + bx - 4 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.
В этом случае прямая является горизонтальной ($y=b$). Уравнение становится линейным: $bx - 4 = 0$. Если $b \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{4}{b}$. Например, при $a=0$ и $b=1$ прямая $y = 1$ пересекает гиперболу $y = \frac{4}{x}$ в одной точке $(4, 1)$.

Случай 2: $a \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант равен нулю. $D = b^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = b^2 + 16a$. $D = 0 \implies b^2 + 16a = 0$. Это возможно, если $a$ и $b$ таковы, что $a = -\frac{b^2}{16}$. Поскольку $b^2 \ge 0$, это требует, чтобы $a \le 0$. Например, выберем $a = -1$. Тогда $b^2 + 16(-1) = 0 \implies b^2 = 16 \implies b = 4$ или $b = -4$. Возьмем $a = -1$ и $b = 4$. Прямая $y = -x + 4$ является касательной к гиперболе. Уравнение для нахождения точек пересечения: $-x^2 + 4x - 4 = 0$, или $x^2 - 4x + 4 = 0$, что равносильно $(x-2)^2 = 0$. Уравнение имеет один корень $x=2$. Точка пересечения (касания) — $(2, 2)$.

Графическая иллюстрация касания прямой $y=-x+4$ и гиперболы $y=4/x$:

Ответ: да, могут.

2) только в двух точках

Графики могут пересекаться в двух точках, если уравнение $ax^2 + bx - 4 = 0$ имеет два различных действительных корня. Это возможно только в случае, когда $a \neq 0$, и дискриминант уравнения положителен. $D = b^2 + 16a > 0$.

Это условие легко выполнить. Например, если $a > 0$, то $16a > 0$, и так как $b^2 \ge 0$, дискриминант $D = b^2 + 16a$ всегда будет положительным. Возьмем $a=1, b=0$. Прямая $y = x$. Уравнение: $x^2 - 4 = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = -2$. Точки пересечения: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Если $a < 0$, то для двух точек пересечения должно выполняться условие $b^2 > -16a$. Например, при $a=-1$ нужно, чтобы $b^2 > 16$. Возьмем $b=5$. Прямая $y = -x + 5$. Уравнение: $-x^2+5x-4=0 \implies x^2-5x+4=0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = 4$. Точки пересечения: $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Графическая иллюстрация пересечения прямой $y=x$ и гиперболы $y=4/x$:

Ответ: да, могут.

3) в трех точках

Количество точек пересечения определяется количеством действительных корней уравнения $ax^2 + bx - 4 = 0$.

Если $a \neq 0$, это уравнение является квадратным. Квадратное уравнение может иметь не более двух действительных корней.

Если $a = 0$, это уравнение является линейным ($bx-4=0$). Линейное уравнение может иметь не более одного действительного корня.

В любом случае, уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения может иметь максимум два решения. Следовательно, прямая и гипербола не могут пересекаться более чем в двух точках.

Ответ: нет, не могут.