Номер 27.7, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.7. Пересекается ли график функции $f(x)=-\frac{5}{x}$ с графиком функции:

1) $y=-x+3;$

2) $y=2x;$

3) $y=x+1;$

4) $y=-3x-3.5;$

5) $y=-x^2;$

6) $y=-0.5x^3;$

7) $y=\frac{1}{3}x^2;$

8) $y=|x|?$

Чтобы определить, пересекается ли график функции $f(x) = -\frac{5}{x}$ с графиком другой функции, необходимо приравнять их выражения и проверить, имеет ли получившееся уравнение действительные корни. Если уравнение имеет хотя бы один действительный корень, графики пересекаются.

1) $y = -x + 3$
Для нахождения точек пересечения графиков функций $f(x) = -\frac{5}{x}$ и $y = -x + 3$ решим уравнение $f(x) = y$:
$-\frac{5}{x} = -x + 3$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$-5 = -x^2 + 3x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 3x - 5 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, графики функций пересекаются.
Ответ: пересекается.

2) $y = 2x$
Приравняем правые части функций: $-\frac{5}{x} = 2x$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = 2x^2$
$x^2 = -\frac{5}{2}$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики функций не пересекаются.
Ответ: не пересекается.

3) $y = x + 1$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = x + 1$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = x^2 + x$
$x^2 + x + 5 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Графики не пересекаются.
Ответ: не пересекается.

4) $y = -3x - 3,5$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = -3x - 3,5$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = -3x^2 - 3,5x$
$3x^2 + 3,5x - 5 = 0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (3,5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 12,25 + 60 = 72,25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

5) $y = -x^2$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = -x^2$.
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$-5 = -x^3$
$x^3 = 5$
$x = \sqrt[3]{5}$
Уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

6) $y = -0,5 x^3$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = -0,5x^3$.
$-\frac{5}{x} = -\frac{1}{2}x^3$
Умножим обе части на $-2x$ ($x \neq 0$):
$10 = x^4$
$x = \pm\sqrt[4]{10}$
Уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

7) $y = \frac{1}{3}x^2$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = \frac{1}{3}x^2$.
Умножим обе части на $3x$ ($x \neq 0$):
$-15 = x^3$
$x = \sqrt[3]{-15} = -\sqrt[3]{15}$
Уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, графики пересекаются.
Ответ: пересекается.

8) $y = |x|$
Решим уравнение $-\frac{5}{x} = |x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$-\frac{5}{x} = x \implies -5 = x^2$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-\frac{5}{x} = -x \implies \frac{5}{x} = x \implies 5 = x^2$.
Корни этого уравнения $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x = -\sqrt{5}$.
Так как существует действительный корень, графики функций пересекаются.
Ответ: пересекается.