Номер 27.6, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.6. Решите уравнение графическим способом:

1) $4 = -\frac{2}{x}$;

2) $3 = \frac{4}{x}$;

3) $x = -\frac{2}{x}$;

4) $2x = -\frac{5}{x}$;

5) $x^2 = \frac{1}{x}$;

6) $x^3 = -x^2$;

7) $x^2 = x + 2$;

8) $0.25x^2 = \frac{2}{x}$.

1) Чтобы решить уравнение $4 = -\frac{2}{x}$ графическим способом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 4$ и $y_2 = -\frac{2}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса точки (или точек) пересечения этих графиков.

График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), проходящая через точку $(0; 4)$.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Построим графики этих функций.

Графики пересекаются в одной точке с координатами $(-0.5; 4)$. Абсцисса этой точки равна $-0.5$.

Ответ: $x = -0.5$.

2) Рассмотрим две функции: $y_1 = 3$ и $y_2 = \frac{4}{x}$. Решением уравнения $3 = \frac{4}{x}$ является абсцисса точки пересечения их графиков.

График $y = 3$ — прямая, параллельная оси Ox.

График $y = \frac{4}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Графики пересекаются в одной точке с абсциссой $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

3) Для решения уравнения $x = -\frac{2}{x}$ построим графики функций $y_1 = x$ и $y_2 = -\frac{2}{x}$.

График $y = x$ — прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

График $y = -\frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

Графики функций не пересекаются, так как один расположен в I и III четвертях, а другой — во II и IV. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

4) Рассмотрим функции $y_1 = 2x$ и $y_2 = -\frac{5}{x}$. Решением уравнения $2x = -\frac{5}{x}$ будет абсцисса точки их пересечения.

График $y = 2x$ — прямая, проходящая через начало координат.

График $y = -\frac{5}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

Прямая $y=2x$ лежит в I и III четвертях, а гипербола $y=-\frac{5}{x}$ — во II и IV. Графики не пересекаются.

Ответ: нет корней.

5) Для решения уравнения $x^2 = \frac{1}{x}$ построим графики функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = \frac{1}{x}$.

График $y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Парабола и гипербола пересекаются в одной точке в первой четверти. Координаты этой точки $(1; 1)$. Абсцисса точки пересечения $x=1$. В третьей четверти пересечений нет, так как парабола $y=x^2$ принимает только неотрицательные значения.

Ответ: $x = 1$.

6) Для решения уравнения $x^3 = -x^2$ построим графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = -x^2$.

График $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях.

График $y = -x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

Графики пересекаются в двух точках. Первая точка — начало координат $(0; 0)$. Вторая точка имеет координаты $(-1; -1)$. Абсциссы этих точек: $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $x = -1; x = 0$.

7) Для решения уравнения $x^2 = x + 2$ построим графики функций $y_1 = x^2$ и $y_2 = x + 2$.

График $y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат, ветви вверх.

График $y = x + 2$ — прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$.

Парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(-1; 1)$ и $(2; 4)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x = -1; x = 2$.

8) Для решения уравнения $0.25x^2 = \frac{2}{x}$ построим графики функций $y_1 = 0.25x^2$ и $y_2 = \frac{2}{x}$.

График $y = 0.25x^2$ (или $y=\frac{1}{4}x^2$) — парабола, более "широкая", чем $y=x^2$, с вершиной в начале координат и ветвями вверх.

График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III четвертях.

Графики пересекаются в одной точке $(2; 1)$. Абсцисса этой точки $x=2$ является решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.