Номер 27.5, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.5. Имеет ли корни уравнение:

$-\frac{5}{x} = 3x+2$;

$-\frac{2.5}{x} = 5$;

$\frac{4}{x} = -x$;

$\frac{6}{x} = 4x - 3?$

1) Чтобы определить, имеет ли уравнение $ \frac{5}{x}=3x+2 $ корни, приведем его к стандартному виду. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):
$5 = x(3x+2)$
$5 = 3x^2+2x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$3x^2+2x-5=0$
Наличие действительных корней у квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=3$, $b=2$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 - (-60) = 4 + 60 = 64$
Поскольку $D=64 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны нулю (проверка: $3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 5 = -5 \neq 0$), следовательно, они удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, исходное уравнение имеет корни.
Ответ: Да, имеет.

2) Рассмотрим уравнение $-\frac{2,5}{x}=5$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Это простое уравнение, которое можно решить напрямую. Умножим обе части на $x$ :
$-2,5 = 5x$
Выразим $x$ :
$x = \frac{-2,5}{5} = -0,5$
Полученное значение $x=-0,5$ не равно нулю, значит, оно является корнем исходного уравнения.
Ответ: Да, имеет.

3) Рассмотрим уравнение $\frac{4}{x}=-x$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ :
$4 = -x^2$
Перепишем уравнение в виде:
$x^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а $-4 < 0$, то данное уравнение не имеет решений в действительных числах.
Можно также найти дискриминант уравнения $x^2+4=0$, где $a=1, b=0, c=4$:
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16$
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Нет, не имеет.

4) Рассмотрим уравнение $\frac{6}{x}=4x-3$. ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$ :
$6 = x(4x-3)$
$6 = 4x^2-3x$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$4x^2-3x-6=0$
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4, b=-3, c=-6$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 9 - (-96) = 9 + 96 = 105$
Поскольку $D=105 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не равны нулю (проверка: $4 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 - 6 = -6 \neq 0$), поэтому они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: Да, имеет.