Страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Может ли быть тождеством равенство, которое при каких-либо значениях: является неверным равенством; не имеет смысла?

2. При каких значениях букв выполняется основное свойство дроби?

1. Тождество — это равенство, которое является верным при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Допустимые значения — это те значения, при которых обе части равенства имеют смысл.

Рассмотрим два подвопроса:

• Может ли равенство быть тождеством, если при каких-либо значениях оно является неверным равенством?
Нет, не может. Согласно определению, тождество должно быть верным равенством для всех допустимых значений. Если найдется хотя бы одно допустимое значение переменной, при подстановке которого равенство становится неверным, то такое равенство не является тождеством. Например, равенство $a + a = 3a$ не является тождеством, так как оно верно только при $a=0$, а при любом другом значении (например, $a=1$) оно неверно ($1+1 \neq 3 \cdot 1$).

• Может ли равенство быть тождеством, если при каких-либо значениях оно не имеет смысла?
Да, может. Тождество должно быть верным для всех значений из своей области допустимых значений (ОДЗ). Значения переменных, при которых одна или обе части равенства не имеют смысла (например, из-за деления на ноль), просто не включаются в ОДЗ. Равенство считается тождеством, если оно верно для всех значений, для которых оно определено. Например, равенство $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ является тождеством. При $x=1$ его левая часть не имеет смысла, так как знаменатель обращается в ноль. Однако для всех остальных значений $x$ (т.е. для всех $x$ из ОДЗ, где $x \neq 1$) это равенство верно.

Ответ: Равенство не может быть тождеством, если оно становится неверным при каких-либо допустимых значениях. Равенство может быть тождеством, даже если при некоторых значениях переменных оно не имеет смысла (эти значения просто не рассматриваются при проверке на тождественность).

2. Основное свойство дроби заключается в том, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля. В буквенном виде это записывается как равенство:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Это равенство (то есть само свойство) выполняется при определенных условиях на значения букв:

1. Исходная дробь $\frac{a}{b}$ должна иметь смысл. Это возможно только в том случае, если ее знаменатель не равен нулю. Значит, $b \neq 0$.

2. Множитель $c$, на который умножаются числитель и знаменатель, не должен быть равен нулю. Если $c=0$, то знаменатель новой дроби $b \cdot c$ стал бы равен нулю ($b \cdot 0 = 0$), а деление на ноль невозможно. Значит, $c \neq 0$.

3. На числитель $a$ никаких ограничений не накладывается, он может быть любым числом.

Следовательно, основное свойство дроби выполняется для любого значения $a$, любого ненулевого значения $b$ и любого ненулевого значения $c$.

Ответ: Основное свойство дроби выполняется, когда знаменатель дроби не равен нулю, и число, на которое умножаются числитель и знаменатель, также не равно нулю.