Страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.9. Зная, что $a + 2c = 7$, найдите значение дробно-рационального выражения:

1) $\frac{3a + 6c}{(2c + a)^2}$;

2) $\frac{a + 2c}{2(2c + a)^2}$;

3) $\frac{a + 2c}{(2c + a)^3}$;

4) $\frac{(2c - a) \cdot 4}{(4c^2 - a^2)}$.

1)

Дано выражение $\frac{3a + 6c}{(2c + a)^2}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

Сначала преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$3a + 6c = 3(a + 2c)$.

Знаменатель дроби $(2c + a)^2$ можно переписать как $(a + 2c)^2$, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Теперь подставим известное значение $a + 2c = 7$ в преобразованное выражение:

$\frac{3(a + 2c)}{(a + 2c)^2} = \frac{3 \cdot 7}{7^2} = \frac{21}{49}$.

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{21}{49} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

2)

Дано выражение $\frac{a + 2c}{2(2c + a)^2}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

В числителе дроби находится выражение $a + 2c$, значение которого нам известно.

В знаменателе выражение $2(2c + a)^2$ можно переписать как $2(a + 2c)^2$.

Подставим известное значение $a + 2c = 7$ в дробь:

$\frac{a + 2c}{2(a + 2c)^2} = \frac{7}{2 \cdot 7^2} = \frac{7}{2 \cdot 49} = \frac{7}{98}$.

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{7}{98} = \frac{7}{14 \cdot 7} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$.

3)

Дано выражение $\frac{a + 2c}{(2c + a)^3}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

Заменим в числителе и знаменателе выражение $a + 2c$ (и эквивалентное ему $2c + a$) на его значение, равное 7:

$\frac{a + 2c}{(2c + a)^3} = \frac{7}{7^3}$.

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$\frac{7}{7^3} = \frac{7^1}{7^3} = 7^{1-3} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.

4)

Дано выражение $\frac{(2c - a) \cdot 4}{4c^2 - a^2}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$4c^2 - a^2 = (2c)^2 - a^2 = (2c - a)(2c + a)$.

Подставим преобразованный знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{4(2c - a)}{(2c - a)(2c + a)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2c - a)$, при условии что $2c - a \neq 0$:

$\frac{4}{2c + a}$.

Теперь подставим известное значение $2c + a = a + 2c = 7$:

$\frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

38.10. Упростите и найдите значение алгебраической дроби:

1) $\frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2}$ при $a = -3$, $b = -0,2$;

2) $\frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2}$ при $c = 1\frac{2}{3}$, $d = 0,5$;

3) $\frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2}$ при $x = \frac{2}{3}$, $y = -0,4$;

4) $\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy}$ при $x = -0,2$, $y = -0,6$.

1) Сначала упростим данное выражение. В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$, а в знаменателе - $b$.

$\frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2} = \frac{5a(3a - 2b)}{b(3a - 2b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3a - 2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие при $a = -3$ и $b = -0,2$: $3a - 2b = 3(-3) - 2(-0,2) = -9 + 0,4 = -8,6 \neq 0$. Значит, сокращение возможно.

$\frac{5a(3a - 2b)}{b(3a - 2b)} = \frac{5a}{b}$

Теперь подставим значения $a = -3$ и $b = -0,2$ в упрощенное выражение:

$\frac{5a}{b} = \frac{5 \cdot (-3)}{-0,2} = \frac{-15}{-0,2} = \frac{15}{0,2} = 75$

Ответ: $75$

2) Упростим алгебраическую дробь. Числитель представляет собой разность квадратов по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6cd$.

$\frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2} = \frac{(3c)^2 - (2d)^2}{6cd(3c - 2d)} = \frac{(3c - 2d)(3c + 2d)}{6cd(3c - 2d)}$

Сократим дробь на $(3c - 2d)$. Предварительно переведем значения в дроби и проверим, что этот множитель не равен нулю: $c = 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $d = 0,5 = \frac{1}{2}$.

$3c - 2d = 3 \cdot \frac{5}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4 \neq 0$. Сокращение допустимо.

Получаем: $\frac{3c + 2d}{6cd}$

Подставим значения $c = \frac{5}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$:

$\frac{3 \cdot \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5 + 1}{\frac{6 \cdot 5}{3 \cdot 2}} = \frac{6}{\frac{30}{6}} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: $1,2$

3) Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

$\frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2} = \frac{6x(x + 2y)}{5y(x + 2y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y)$. Проверим, что он не равен нулю при $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

$x + 2y = \frac{2}{3} + 2(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10-12}{15} = -\frac{2}{15} \neq 0$.

Упрощенное выражение: $\frac{6x}{5y}$

Подставим заданные значения $x$ и $y$:

$\frac{6 \cdot \frac{2}{3}}{5 \cdot (-0,4)} = \frac{\frac{12}{3}}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$

Ответ: $-2$

4) Упростим выражение. Числитель является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, а в знаменателе вынесем общий множитель за скобки.

$\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy} = \frac{(x + 3y)^2}{4x(x + 3y)}$

Сократим дробь на $(x + 3y)$. Проверим, что $x + 3y \neq 0$ при $x = -0,2$ и $y = -0,6$.

$x + 3y = -0,2 + 3(-0,6) = -0,2 - 1,8 = -2 \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{x + 3y}{4x}$

Подставим значения $x = -0,2$ и $y = -0,6$:

$\frac{-0,2 + 3(-0,6)}{4(-0,2)} = \frac{-0,2 - 1,8}{-0,8} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$

38.11. Решите задачу. Составьте обратные задачи и решите их. Два токаря должны изготовить 120 деталей за 8 ч. Сколько деталей в час изготовит каждый токарь, если производительность одного рабочего на 3 детали в час больше производительности другого рабочего?

Решение задачи
1. Сначала найдем общую производительность двух токарей. Для этого нужно общее количество деталей разделить на общее время работы:
$P_{общ} = 120 \text{ деталей} \div 8 \text{ ч} = 15 \text{ деталей/час}$
2. Пусть производительность первого (менее производительного) токаря равна $x$ деталей в час. Тогда производительность второго токаря, по условию, будет $(x + 3)$ деталей в час.
3. Составим уравнение, используя их общую производительность:
$x + (x + 3) = 15$
$2x + 3 = 15$
$2x = 15 - 3$
$2x = 12$
$x = 12 \div 2$
$x = 6$ (деталей/час) — производительность первого токаря.
4. Теперь найдем производительность второго токаря:
$6 + 3 = 9$ (деталей/час)
Проверка: Суммарная производительность $6 + 9 = 15$ деталей/час. За 8 часов они изготовят $15 \times 8 = 120$ деталей. Все верно.
Ответ: производительность одного токаря — 6 деталей в час, а другого — 9 деталей в час.

Составьте обратные задачи и решите их

Первая обратная задача
Два токаря работали вместе 8 часов. Производительность одного токаря — 9 деталей в час, а другого на 3 детали в час меньше. Сколько всего деталей они изготовили за это время?
Решение:
1. Находим производительность второго токаря:
$9 - 3 = 6$ (деталей/час)
2. Находим их общую производительность, сложив производительность каждого:
$9 + 6 = 15$ (деталей/час)
3. Находим общее количество изготовленных деталей, умножив общую производительность на время:
$15 \text{ деталей/час} \times 8 \text{ ч} = 120$ (деталей)
Ответ: 120 деталей.

Вторая обратная задача
Два токаря должны изготовить 120 деталей. Производительность одного токаря 6 деталей в час, а производительность другого — на 3 детали в час больше. За сколько часов они выполнят эту работу, работая вместе?
Решение:
1. Находим производительность второго токаря:
$6 + 3 = 9$ (деталей/час)
2. Находим их общую производительность:
$6 + 9 = 15$ (деталей/час)
3. Находим время, необходимое для изготовления 120 деталей, разделив общее количество деталей на общую производительность:
$120 \text{ деталей} \div 15 \text{ деталей/час} = 8$ (часов)
Ответ: 8 часов.

38.12. Найдите значение числового значения:

1) $ \frac{2}{3} + 1\frac{4}{5} $

2) $ \frac{11}{15} - 2\frac{3}{5} $

3) $ 4\frac{5}{7} - 2\frac{3}{14} $

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{2}{3} + 1\frac{4}{5}$, сначала представим смешанное число $1\frac{4}{5}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель: $1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$.

Теперь сложим две дроби: $\frac{2}{3} + \frac{9}{5}$.

Для сложения дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 это их произведение, то есть 15.

Приведем каждую дробь к знаменателю 15:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{9}{5} = \frac{9 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{27}{15}$

Теперь выполним сложение:
$\frac{10}{15} + \frac{27}{15} = \frac{10 + 27}{15} = \frac{37}{15}$.

Получилась неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:
$\frac{37}{15} = 37 \div 15 = 2$ и остаток $7$. Значит, $\frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}$.

Ответ: $2\frac{7}{15}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{11}{15} - 2\frac{3}{5}$, сначала преобразуем смешанное число $2\frac{3}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$.

Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{11}{15} - \frac{13}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 это 15.

Приведем вторую дробь к знаменателю 15:
$\frac{13}{5} = \frac{13 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{39}{15}$.

Теперь выполним вычитание:
$\frac{11}{15} - \frac{39}{15} = \frac{11 - 39}{15} = \frac{-28}{15}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{-28}{15} = -(28 \div 15) = -1$ и остаток $13$. Значит, $\frac{-28}{15} = -1\frac{13}{15}$.

Ответ: $-1\frac{13}{15}$.

3) Чтобы найти значение выражения $4\frac{5}{7} - 2\frac{3}{14}$, приведем дробные части смешанных чисел к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 14 это 14.

Приведем дробную часть первого числа к знаменателю 14:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$.

Теперь выражение выглядит так: $4\frac{10}{14} - 2\frac{3}{14}$.

Выполним вычитание отдельно для целых и дробных частей.
Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.
Вычитаем дробные части: $\frac{10}{14} - \frac{3}{14} = \frac{10 - 3}{14} = \frac{7}{14}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{7}{14} = \frac{7 \div 7}{14 \div 7} = \frac{1}{2}$.

Объединяем результат: $2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$.