Номер 38.10, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.10. Упростите и найдите значение алгебраической дроби:

1) $\frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2}$ при $a = -3$, $b = -0,2$;

2) $\frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2}$ при $c = 1\frac{2}{3}$, $d = 0,5$;

3) $\frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2}$ при $x = \frac{2}{3}$, $y = -0,4$;

4) $\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy}$ при $x = -0,2$, $y = -0,6$.

1) Сначала упростим данное выражение. В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$, а в знаменателе - $b$.

$\frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2} = \frac{5a(3a - 2b)}{b(3a - 2b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3a - 2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим это условие при $a = -3$ и $b = -0,2$: $3a - 2b = 3(-3) - 2(-0,2) = -9 + 0,4 = -8,6 \neq 0$. Значит, сокращение возможно.

$\frac{5a(3a - 2b)}{b(3a - 2b)} = \frac{5a}{b}$

Теперь подставим значения $a = -3$ и $b = -0,2$ в упрощенное выражение:

$\frac{5a}{b} = \frac{5 \cdot (-3)}{-0,2} = \frac{-15}{-0,2} = \frac{15}{0,2} = 75$

Ответ: $75$

2) Упростим алгебраическую дробь. Числитель представляет собой разность квадратов по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6cd$.

$\frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2} = \frac{(3c)^2 - (2d)^2}{6cd(3c - 2d)} = \frac{(3c - 2d)(3c + 2d)}{6cd(3c - 2d)}$

Сократим дробь на $(3c - 2d)$. Предварительно переведем значения в дроби и проверим, что этот множитель не равен нулю: $c = 1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $d = 0,5 = \frac{1}{2}$.

$3c - 2d = 3 \cdot \frac{5}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4 \neq 0$. Сокращение допустимо.

Получаем: $\frac{3c + 2d}{6cd}$

Подставим значения $c = \frac{5}{3}$ и $d = \frac{1}{2}$:

$\frac{3 \cdot \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{1}{2}}{6 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5 + 1}{\frac{6 \cdot 5}{3 \cdot 2}} = \frac{6}{\frac{30}{6}} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: $1,2$

3) Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

$\frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2} = \frac{6x(x + 2y)}{5y(x + 2y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y)$. Проверим, что он не равен нулю при $x = \frac{2}{3}$ и $y = -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

$x + 2y = \frac{2}{3} + 2(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10-12}{15} = -\frac{2}{15} \neq 0$.

Упрощенное выражение: $\frac{6x}{5y}$

Подставим заданные значения $x$ и $y$:

$\frac{6 \cdot \frac{2}{3}}{5 \cdot (-0,4)} = \frac{\frac{12}{3}}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$

Ответ: $-2$

4) Упростим выражение. Числитель является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, а в знаменателе вынесем общий множитель за скобки.

$\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy} = \frac{(x + 3y)^2}{4x(x + 3y)}$

Сократим дробь на $(x + 3y)$. Проверим, что $x + 3y \neq 0$ при $x = -0,2$ и $y = -0,6$.

$x + 3y = -0,2 + 3(-0,6) = -0,2 - 1,8 = -2 \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{x + 3y}{4x}$

Подставим значения $x = -0,2$ и $y = -0,6$:

$\frac{-0,2 + 3(-0,6)}{4(-0,2)} = \frac{-0,2 - 1,8}{-0,8} = \frac{-2}{-0,8} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$