Номер 38.5, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.5. Упростите дробно-рациональное выражение:

1) $\frac{x^7 + x^5}{x^4 + x^2}$;

2) $\frac{y^7 + y^9}{y^4 + y^2}$;

3) $\frac{a^7 - a^{10}}{a^5 - a^2}$;

4) $\frac{x^6 - x^4}{x^3 + x^2}$;

5) $\frac{a - 2b}{2b - a}$;

6) $\frac{4(a - b)^2}{2b - 2a}$;

7) $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$;

8) $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}.$

1) Исходное выражение: $\frac{x^7 + x^5}{x^4 + x^2}$. Чтобы упростить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^5$: $x^7 + x^5 = x^5(x^2 + 1)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $x^2$: $x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{x^5(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$. Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$, при условии, что он не равен нулю (что выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$). Также, изначальный знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2(x^2+1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$. После сокращения получаем: $\frac{x^5}{x^2}$. Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем: $x^{5-2} = x^3$.
Ответ: $x^3$

2) Исходное выражение: $\frac{y^7 + y^9}{y^4 + y^2}$. В числителе вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $y^7$: $y^7 + y^9 = y^7(1 + y^2)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $y^2$: $y^4 + y^2 = y^2(y^2 + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{y^7(1 + y^2)}{y^2(y^2 + 1)}$. Сократим общий множитель $(1 + y^2)$, при условии $y \neq 0$. Получаем: $\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5$.
Ответ: $y^5$

3) Исходное выражение: $\frac{a^7 - a^{10}}{a^5 - a^2}$. В числителе вынесем за скобки $a^7$: $a^7 - a^{10} = a^7(1 - a^3)$. В знаменателе вынесем за скобки $a^2$: $a^5 - a^2 = a^2(a^3 - 1)$. Дробь примет вид: $\frac{a^7(1 - a^3)}{a^2(a^3 - 1)}$. Заметим, что $1 - a^3 = -(a^3 - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{a^7(-(a^3 - 1))}{a^2(a^3 - 1)}$. Сократим общий множитель $(a^3 - 1)$, при условии $a \neq 1$ и $a \neq 0$. Получаем: $\frac{-a^7}{a^2} = -a^{7-2} = -a^5$.
Ответ: $-a^5$

4) Исходное выражение: $\frac{x^6 - x^4}{x^3 + x^2}$. В числителе вынесем за скобки $x^4$: $x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^4(x - 1)(x + 1)$. В знаменателе вынесем за скобки $x^2$: $x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{x^4(x - 1)(x + 1)}{x^2(x + 1)}$. Сократим общий множитель $(x + 1)$ и $x^2$, при условии $x \neq -1$ и $x \neq 0$. Получаем: $\frac{x^4(x - 1)}{x^2} = x^{4-2}(x-1) = x^2(x - 1)$.
Ответ: $x^2(x-1)$

5) Исходное выражение: $\frac{a - 2b}{2b - a}$. В знаменателе вынесем $-1$ за скобки: $2b - a = -(-2b + a) = -(a - 2b)$. Дробь примет вид: $\frac{a - 2b}{-(a - 2b)}$. Сократим общий множитель $(a - 2b)$, при условии $a - 2b \neq 0$. Получаем: $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$

6) Исходное выражение: $\frac{4(a - b)^2}{2b - 2a}$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2$: $2b - 2a = 2(b - a)$. Затем вынесем $-1$: $2(b - a) = -2(a - b)$. Дробь примет вид: $\frac{4(a - b)^2}{-2(a - b)}$. Сократим численный коэффициент $\frac{4}{-2} = -2$ и выражение $(a - b)$, при условии $a \neq b$. Получаем: $-2(a - b)^{2-1} = -2(a - b)$.
Ответ: $-2(a - b)$

7) Исходное выражение: $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$. В числителе вынесем $-1$ за скобки внутри квадрата: $(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$. Используя свойство $(-x)^2 = x^2$, получаем: $(-(a + b))^2 = (a + b)^2$. Дробь примет вид: $\frac{(a + b)^2}{a + b}$. Сократим дробь на $(a + b)$, при условии $a + b \neq 0$. Получаем: $(a + b)^{2-1} = a + b$.
Ответ: $a + b$

8) Исходное выражение: $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}$. Преобразуем знаменатель: $(b - a)^2 = (-(a - b))^2$. Так как $(-x)^2 = x^2$, то $(-(a - b))^2 = (a - b)^2$. Дробь примет вид: $\frac{(a - b)^2}{(a - b)^2}$. Любое выражение, деленное само на себя (при условии, что оно не равно нулю, т.е. $a \neq b$), равно 1. Следовательно, результат равен 1.
Ответ: $1$