Номер 38.9, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.9. Зная, что $a + 2c = 7$, найдите значение дробно-рационального выражения:

1) $\frac{3a + 6c}{(2c + a)^2}$;

2) $\frac{a + 2c}{2(2c + a)^2}$;

3) $\frac{a + 2c}{(2c + a)^3}$;

4) $\frac{(2c - a) \cdot 4}{(4c^2 - a^2)}$.

1)

Дано выражение $\frac{3a + 6c}{(2c + a)^2}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

Сначала преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель 3 за скобки:

$3a + 6c = 3(a + 2c)$.

Знаменатель дроби $(2c + a)^2$ можно переписать как $(a + 2c)^2$, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Теперь подставим известное значение $a + 2c = 7$ в преобразованное выражение:

$\frac{3(a + 2c)}{(a + 2c)^2} = \frac{3 \cdot 7}{7^2} = \frac{21}{49}$.

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{21}{49} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

2)

Дано выражение $\frac{a + 2c}{2(2c + a)^2}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

В числителе дроби находится выражение $a + 2c$, значение которого нам известно.

В знаменателе выражение $2(2c + a)^2$ можно переписать как $2(a + 2c)^2$.

Подставим известное значение $a + 2c = 7$ в дробь:

$\frac{a + 2c}{2(a + 2c)^2} = \frac{7}{2 \cdot 7^2} = \frac{7}{2 \cdot 49} = \frac{7}{98}$.

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{7}{98} = \frac{7}{14 \cdot 7} = \frac{1}{14}$.

Ответ: $\frac{1}{14}$.

3)

Дано выражение $\frac{a + 2c}{(2c + a)^3}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

Заменим в числителе и знаменателе выражение $a + 2c$ (и эквивалентное ему $2c + a$) на его значение, равное 7:

$\frac{a + 2c}{(2c + a)^3} = \frac{7}{7^3}$.

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$\frac{7}{7^3} = \frac{7^1}{7^3} = 7^{1-3} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$.

4)

Дано выражение $\frac{(2c - a) \cdot 4}{4c^2 - a^2}$ и известно, что $a + 2c = 7$.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$4c^2 - a^2 = (2c)^2 - a^2 = (2c - a)(2c + a)$.

Подставим преобразованный знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{4(2c - a)}{(2c - a)(2c + a)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2c - a)$, при условии что $2c - a \neq 0$:

$\frac{4}{2c + a}$.

Теперь подставим известное значение $2c + a = a + 2c = 7$:

$\frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.