Номер 38.8, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.8. Упростите дробно-рациональное выражение:

1) $ \frac{18a - 3a^2}{8a^2 - 48a} $;

2) $ \frac{8p - 40}{15 - 3p} $;

3) $ \frac{4 - x^2}{10 - 5x} $;

4) $ \frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y} $;

5) $ \frac{ax + bx - ay - by}{bx - by} $;

6) $ \frac{a^2 - 6a + 9}{27 - a^3} $;

7) $ \frac{(2a - 2b)^2}{a - b} $;

8) $ \frac{(4c + 12d)^2}{c + 3d} $;

9) $ \frac{4x^2 - y^2}{(6x - 3y)^2} $;

10) $ \frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a} $.

1) Упростим выражение $\frac{18a - 3a^2}{8a^2 - 48a}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $3a$: $18a - 3a^2 = 3a(6 - a)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $8a$: $8a^2 - 48a = 8a(a - 6)$.
Получим дробь: $\frac{3a(6 - a)}{8a(a - 6)}$.
Так как $6 - a = -(a - 6)$, можем переписать дробь: $\frac{-3a(a - 6)}{8a(a - 6)}$.
Сократим дробь на общий множитель $a(a - 6)$, при условии что $a \neq 0$ и $a \neq 6$.
$\frac{-3\cancel{a}(\cancel{a - 6})}{8\cancel{a}(\cancel{a - 6})} = -\frac{3}{8}$.
Ответ: $-\frac{3}{8}$

2) Упростим выражение $\frac{8p - 40}{15 - 3p}$.
В числителе вынесем за скобки $8$: $8p - 40 = 8(p - 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки $3$: $15 - 3p = 3(5 - p)$.
Получим дробь: $\frac{8(p - 5)}{3(5 - p)}$.
Так как $5 - p = -(p - 5)$, можем переписать дробь: $\frac{8(p - 5)}{-3(p - 5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(p - 5)$, при условии что $p \neq 5$.
$\frac{8(\cancel{p - 5})}{-3(\cancel{p - 5})} = -\frac{8}{3}$.
Ответ: $-\frac{8}{3}$

3) Упростим выражение $\frac{4 - x^2}{10 - 5x}$.
Числитель разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.
В знаменателе вынесем за скобки $5$: $10 - 5x = 5(2 - x)$.
Получим дробь: $\frac{(2 - x)(2 + x)}{5(2 - x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2 - x)$, при условии что $x \neq 2$.
$\frac{(\cancel{2 - x})(2 + x)}{5(\cancel{2 - x})} = \frac{2 + x}{5}$.
Ответ: $\frac{2 + x}{5}$

4) Упростим выражение $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$.
В числителе вынесем общий множитель $3$ из скобок: $(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 9(x + 2y)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель $5$: $5x + 10y = 5(x + 2y)$.
Получим дробь: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y)$, при условии что $x + 2y \neq 0$.
$\frac{9(x + 2y)^{\cancel{2}}}{5(\cancel{x + 2y})} = \frac{9(x + 2y)}{5}$.
Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$

5) Упростим выражение $\frac{ax + bx - ay - by}{ax + bx}$.
В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $ax + bx - ay - by = x(a + b) - y(a + b) = (a + b)(x - y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $x$: $ax + bx = x(a + b)$.
Получим дробь: $\frac{(a + b)(x - y)}{x(a + b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$, при условии что $a + b \neq 0$ и $x \neq 0$.
$\frac{(\cancel{a + b})(x - y)}{x(\cancel{a + b})} = \frac{x - y}{x}$.
Ответ: $\frac{x - y}{x}$

6) Упростим выражение $\frac{a^2 - 6a + 9}{27 - a^3}$.
Числитель является полным квадратом: $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.
Знаменатель разложим по формуле разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$: $27 - a^3 = 3^3 - a^3 = (3 - a)(9 + 3a + a^2)$.
Получим дробь: $\frac{(a - 3)^2}{(3 - a)(9 + 3a + a^2)}$.
Так как $(a - 3)^2 = (-(3 - a))^2 = (3 - a)^2$, можем переписать дробь: $\frac{(3 - a)^2}{(3 - a)(9 + 3a + a^2)}$.
Сократим дробь на $(3 - a)$, при условии что $a \neq 3$.
$\frac{(3 - a)^{\cancel{2}}}{(\cancel{3 - a})(9 + 3a + a^2)} = \frac{3 - a}{9 + 3a + a^2}$.
Ответ: $\frac{3 - a}{a^2 + 3a + 9}$

7) Упростим выражение $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$.
В числителе вынесем общий множитель $2$ из скобок: $(2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 4(a - b)^2$.
Получим дробь: $\frac{4(a - b)^2}{a - b}$.
Сократим дробь на $(a - b)$, при условии что $a - b \neq 0$.
$\frac{4(a - b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a - b}} = 4(a - b)$.
Ответ: $4(a - b)$

8) Упростим выражение $\frac{(4c + 12d)^2}{c + 3d}$.
В числителе вынесем общий множитель $4$ из скобок: $(4c + 12d)^2 = (4(c + 3d))^2 = 16(c + 3d)^2$.
Получим дробь: $\frac{16(c + 3d)^2}{c + 3d}$.
Сократим дробь на $(c + 3d)$, при условии что $c + 3d \neq 0$.
$\frac{16(c + 3d)^{\cancel{2}}}{\cancel{c + 3d}} = 16(c + 3d)$.
Ответ: $16(c + 3d)$

9) Упростим выражение $\frac{4x^2 - y^2}{(6x - 3y)^2}$.
Числитель разложим по формуле разности квадратов: $4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $3$ из скобок: $(6x - 3y)^2 = (3(2x - y))^2 = 9(2x - y)^2$.
Получим дробь: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{9(2x - y)^2}$.
Сократим дробь на $(2x - y)$, при условии что $2x - y \neq 0$.
$\frac{(\cancel{2x - y})(2x + y)}{9(2x - y)^{\cancel{2}}} = \frac{2x + y}{9(2x - y)}$.
Ответ: $\frac{2x + y}{9(2x - y)}$

10) Упростим выражение $\frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a}$.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ab - 3b - 2a + 6 = b(a - 3) - 2(a - 3) = (a - 3)(b - 2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $5$: $15 - 5a = 5(3 - a)$.
Получим дробь: $\frac{(a - 3)(b - 2)}{5(3 - a)}$.
Так как $a - 3 = -(3 - a)$, можем переписать дробь: $\frac{-(3 - a)(b - 2)}{5(3 - a)}$.
Сократим дробь на $(3 - a)$, при условии что $a \neq 3$.
$\frac{-(\cancel{3 - a})(b - 2)}{5(\cancel{3 - a})} = -\frac{b - 2}{5} = \frac{2 - b}{5}$.
Ответ: $\frac{2 - b}{5}$