Номер 38.1, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите алгебраические дроби (38.1–38.2):

38.1. 1) $\frac{12xa}{15ya}$;

2) $\frac{12cb^2}{9bc^3}$;

3) $\frac{12ay^3}{-8a^2y}$;

4) $\frac{-6p^3q}{-12q^3}$;

5) $\frac{-4ax^2}{12xy}$;

6) $\frac{9axy^2}{6ay^3}$;

7) $\frac{48a^2c^2}{36ac}$;

8) $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{12xa}{15ya}$, мы должны разделить и числитель, и знаменатель на их общие множители.
Сначала рассмотрим числовые коэффициенты 12 и 15. Наибольший общий делитель (НОД) для 12 и 15 равен 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Делим 15 на 3, получаем 5.
Теперь рассмотрим переменные. Переменная $a$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому она сокращается ($a/a = 1$). Переменные $x$ и $y$ не имеют общих множителей.
Собираем все вместе: $\frac{12xa}{15ya} = \frac{(3 \cdot 4) \cdot x \cdot a}{(3 \cdot 5) \cdot y \cdot a} = \frac{4x}{5y}$.
Ответ: $\frac{4x}{5y}$

2) Сократим дробь $\frac{12cb^2}{9bc^3}$.
Коэффициенты 12 и 9 имеют НОД, равный 3. $12 \div 3 = 4$, $9 \div 3 = 3$.
Сокращаем переменные. Для этого используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Для переменной $b$: $\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b^1 = b$.
Для переменной $c$: $\frac{c}{c^3} = c^{1-3} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$.
Объединяя результаты, получаем: $\frac{12cb^2}{9bc^3} = \frac{4b}{3c^2}$.
Ответ: $\frac{4b}{3c^2}$

3) Сократим дробь $\frac{12ay^3}{-8a^2y}$.
Коэффициенты 12 и -8. НОД(12, 8) = 4. Так как один из коэффициентов отрицательный, вся дробь будет отрицательной. $\frac{12}{-8} = -\frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные:
Для переменной $a$: $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Для переменной $y$: $\frac{y^3}{y} = y^{3-1} = y^2$.
Итоговый результат: $\frac{12ay^3}{-8a^2y} = -\frac{3y^2}{2a}$.
Ответ: $-\frac{3y^2}{2a}$

4) Сократим дробь $\frac{-6p^3q}{-12q^3}$.
Коэффициенты -6 и -12. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное. НОД(6, 12) = 6. $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Сокращаем переменные:
Переменная $p^3$ находится только в числителе, поэтому она остается там.
Для переменной $q$: $\frac{q}{q^3} = q^{1-3} = q^{-2} = \frac{1}{q^2}$.
Собираем все вместе: $\frac{-6p^3q}{-12q^3} = \frac{p^3}{2q^2}$.
Ответ: $\frac{p^3}{2q^2}$

5) Сократим дробь $\frac{-4ax^2}{12xy}$.
Коэффициенты -4 и 12. НОД(4, 12) = 4. Дробь будет отрицательной. $\frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Сокращаем переменные:
Переменная $a$ остается в числителе.
Для переменной $x$: $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.
Переменная $y$ остается в знаменателе.
Объединяем: $\frac{-4ax^2}{12xy} = -\frac{ax}{3y}$.
Ответ: $-\frac{ax}{3y}$

6) Сократим дробь $\frac{9axy^2}{6ay^3}$.
Коэффициенты 9 и 6. НОД(9, 6) = 3. $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные:
Переменная $a$ сокращается ($a/a=1$).
Переменная $x$ остается в числителе.
Для переменной $y$: $\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Результат: $\frac{9axy^2}{6ay^3} = \frac{3x}{2y}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y}$

7) Сократим дробь $\frac{48a^2c^2}{36ac}$.
Коэффициенты 48 и 36. НОД(48, 36) = 12. $\frac{48}{36} = \frac{4}{3}$.
Сокращаем переменные:
Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$.
Для переменной $c$: $\frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c$.
Итоговый вид дроби: $\frac{48a^2c^2}{36ac} = \frac{4ac}{3}$.
Ответ: $\frac{4ac}{3}$

8) Сократим дробь $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4}$.
Коэффициенты 63 и 84. Найдем НОД(63, 84). $63=3 \cdot 21$, $84=4 \cdot 21$. Значит НОД равен 21. $\frac{63}{84} = \frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{3}{4}$.
Сокращаем переменные:
Для переменной $x$: $\frac{x^3}{x^6} = x^{3-6} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
Для переменной $y$: $\frac{y^5}{y^4} = y^{5-4} = y$.
Объединяем полученные части: $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4} = \frac{3y}{4x^3}$.
Ответ: $\frac{3y}{4x^3}$