Номер 37.10, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.10.

1) Найдите значение дроби $ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} $, если оно существует при:

$x = 0; x = 0,5; x = 2; x = 4,6; x = 3.$

2) Вычислите значение дроби $ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} $, если оно существует

при: $c = -2; c = 4,5; c = 6\frac{1}{4}; c = \frac{2}{3}; c = 1,5.$

1)

Дана дробь $ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} $. Значение дроби существует, если ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть решим уравнение:

$ x^3 - 3x^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$ x^2(x - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $x^2 = 0$ или $x - 3 = 0$. Отсюда получаем $x = 0$ и $x = 3$. При этих значениях $x$ дробь не имеет смысла.

Для всех остальных значений $x$ ($x \neq 0$ и $x \neq 3$) мы можем упростить выражение, сократив дробь на $x$:

$ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} = \frac{3x}{x^2(x - 3)} = \frac{3}{x(x - 3)} $

Теперь вычислим значения дроби для заданных значений $x$:

При $x = 0$: значение дроби не существует, так как знаменатель равен 0.

При $x = 0,5$: $ \frac{3}{0,5(0,5 - 3)} = \frac{3}{0,5 \cdot (-2,5)} = \frac{3}{-1,25} = -2,4 $.

При $x = 2$: $ \frac{3}{2(2 - 3)} = \frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{-2} = -1,5 $.

При $x = 4,6$: $ \frac{3}{4,6(4,6 - 3)} = \frac{3}{4,6 \cdot 1,6} = \frac{3}{7,36} = \frac{300}{736} = \frac{75}{184} $.

При $x = 3$: значение дроби не существует, так как знаменатель равен 0.

Ответ: при $x=0$ не существует; при $x=0,5$ значение равно $-2,4$; при $x=2$ значение равно $-1,5$; при $x=4,6$ значение равно $ \frac{75}{184} $; при $x=3$ не существует.

2)

Дана дробь $ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} $. Значение дроби существует, если ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $c$, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть решим уравнение:

$ 2c^3 - 3c^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $c^2$ за скобки:

$ c^2(2c - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $c^2 = 0$ или $2c - 3 = 0$. Отсюда получаем $c = 0$ и $c = \frac{3}{2} = 1,5$. При этих значениях $c$ дробь не имеет смысла.

Для всех остальных значений $c$ ($c \neq 0$ и $c \neq 1,5$) мы можем упростить выражение, сократив дробь на $(2c-3)$:

$ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} = \frac{2c - 3}{c^2(2c - 3)} = \frac{1}{c^2} $

Теперь вычислим значения дроби для заданных значений $c$:

При $c = -2$: $ \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0,25 $.

При $c = 4,5$: $c = \frac{9}{2}$. $ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(9/2)^2} = \frac{1}{81/4} = \frac{4}{81} $.

При $c = 6\frac{1}{4}$: $c = \frac{25}{4}$. $ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(25/4)^2} = \frac{1}{625/16} = \frac{16}{625} $.

При $c = \frac{2}{3}$: $ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{1}{4/9} = \frac{9}{4} = 2,25 $.

При $c = 1,5$: значение дроби не существует, так как знаменатель равен 0.

Ответ: при $c=-2$ значение равно $ \frac{1}{4} $; при $c=4,5$ значение равно $ \frac{4}{81} $; при $c=6\frac{1}{4}$ значение равно $ \frac{16}{625} $; при $c=\frac{2}{3}$ значение равно $ \frac{9}{4} $; при $c=1,5$ не существует.