Номер 37.6, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.6. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

1) $\frac{5y - 8}{11};$

2) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y};$

3) $\frac{y - 10}{y^2 + 3};$

4) $\frac{6y}{3y - 4} + \frac{15}{y + 16};$

5) $\frac{32}{5y} - \frac{3y + 1}{2y + 7}.$

1) В выражении $\frac{5y - 8}{11}$ знаменатель является числом 11. Так как знаменатель не содержит переменной и не равен нулю ($11 \neq 0$), то выражение имеет смысл при любых значениях переменной $y$.

Ответ: любые числа.

2) В выражении $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$ допустимые значения переменной $y$ — это все значения, при которых знаменатель $y^2 - 2y$ не равен нулю. Найдем значения $y$, которые обращают знаменатель в ноль, решив уравнение:

$y^2 - 2y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$y_1 = 0$ или $y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$

Следовательно, переменная $y$ может принимать любые значения, кроме 0 и 2.

Ответ: все числа, кроме 0 и 2.

3) В выражении $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$ знаменатель равен $y^2 + 3$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $y$ (то есть $y^2 \ge 0$). Поэтому значение знаменателя $y^2 + 3$ всегда будет больше или равно 3 ($y^2 + 3 \ge 3$). Это означает, что знаменатель никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение определено для любых значений переменной $y$.

Ответ: любые числа.

4) Выражение $\frac{6y}{3y - 4} + \frac{15}{y + 16}$ является суммой двух дробей. Для того чтобы выражение имело смысл, знаменатели обеих дробей не должны быть равны нулю.
1. Для первой дроби: $3y - 4 \neq 0 \implies 3y \neq 4 \implies y \neq \frac{4}{3}$.
2. Для второй дроби: $y + 16 \neq 0 \implies y \neq -16$.
Таким образом, допустимыми являются все значения переменной $y$, кроме $-16$ и $\frac{4}{3}$.

Ответ: все числа, кроме -16 и $\frac{4}{3}$.

5) Выражение $\frac{32}{5y} - \frac{3y + 1}{2y + 7}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Для первой дроби: $5y \neq 0 \implies y \neq 0$.
2. Для второй дроби: $2y + 7 \neq 0 \implies 2y \neq -7 \implies y \neq -\frac{7}{2}$.
Таким образом, допустимыми являются все значения переменной $y$, кроме $0$ и $-\frac{7}{2}$.

Ответ: все числа, кроме $-\frac{7}{2}$ и 0.