Номер 37.8, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.8. Запишите дробь с переменной $x$, которая имеет смысл при всех значениях $x$, кроме чисел

1) 3;

2) 4;

3) -2;

4) -1 и 2;

5) 3 и 5;

6) $-\frac{2}{3}$ и 7.

1)

Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Чтобы дробь не имела смысла при $x = 3$, ее знаменатель должен обращаться в ноль при этом значении $x$. Простейшее выражение, которое равно нулю при $x = 3$, это $x - 3$. В качестве числителя можно взять любое число, отличное от нуля, например 1. Таким образом, искомая дробь:

$\frac{1}{x-3}$

Проверка: знаменатель $x - 3 = 0$ только при $x = 3$.

Ответ: $\frac{1}{x-3}$.

2)

Чтобы дробь не имела смысла при $x = 4$, ее знаменатель должен быть равен нулю при $x = 4$. Этому условию удовлетворяет выражение $x - 4$.

Пример дроби:

$\frac{1}{x-4}$

Проверка: знаменатель $x - 4 = 0$ только при $x = 4$.

Ответ: $\frac{1}{x-4}$.

3)

Чтобы дробь не имела смысла при $x = -2$, ее знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -2$. Этому условию удовлетворяет выражение $x - (-2)$, то есть $x + 2$.

Пример дроби:

$\frac{1}{x+2}$

Проверка: знаменатель $x + 2 = 0$ только при $x = -2$.

Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

4)

Знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x = -1$ и при $x = 2$. Это означает, что в разложении знаменателя на множители должны присутствовать $(x - (-1))$ и $(x - 2)$, то есть $(x + 1)$ и $(x - 2)$. Знаменатель может быть их произведением.

Пример дроби:

$\frac{1}{(x+1)(x-2)}$

Можно также раскрыть скобки в знаменателе: $(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$. Тогда дробь примет вид $\frac{1}{x^2 - x - 2}$.

Проверка: знаменатель $(x+1)(x-2)$ равен нулю при $x = -1$ или $x = 2$.

Ответ: $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$.

5)

Знаменатель дроби должен быть равен нулю при $x = 3$ и при $x = 5$. Следовательно, он должен содержать множители $(x - 3)$ и $(x - 5)$. Знаменатель может быть их произведением.

Пример дроби:

$\frac{1}{(x-3)(x-5)}$

Раскрыв скобки, получим: $(x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$. Дробь также можно записать как $\frac{1}{x^2 - 8x + 15}$.

Проверка: знаменатель $(x-3)(x-5)$ равен нулю при $x = 3$ или $x = 5$.

Ответ: $\frac{1}{(x-3)(x-5)}$.

6)

Знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x = -\frac{2}{3}$ и при $x = 7$. Соответствующие множители в знаменателе: $(x - (-\frac{2}{3}))$ и $(x - 7)$, то есть $(x + \frac{2}{3})$ и $(x - 7)$. Чтобы в выражении знаменателя не было дробей, можно домножить первый множитель на 3: $3(x + \frac{2}{3}) = 3x + 2$. Этот множитель также обращается в ноль при $x = -\frac{2}{3}$. Тогда знаменатель может быть произведением $(3x+2)(x-7)$.

Пример дроби:

$\frac{1}{(3x+2)(x-7)}$

Раскрыв скобки, получим: $(3x+2)(x-7) = 3x^2 - 21x + 2x - 14 = 3x^2 - 19x - 14$. Дробь можно записать как $\frac{1}{3x^2 - 19x - 14}$.

Проверка: знаменатель $(3x+2)(x-7)$ равен нулю при $3x+2=0$ (т.е. $x = -\frac{2}{3}$) или при $x-7=0$ (т.е. $x=7$).

Ответ: $\frac{1}{(3x+2)(x-7)}$.