Страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.6. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

1) $\frac{5y - 8}{11};$

2) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y};$

3) $\frac{y - 10}{y^2 + 3};$

4) $\frac{6y}{3y - 4} + \frac{15}{y + 16};$

5) $\frac{32}{5y} - \frac{3y + 1}{2y + 7}.$

1) В выражении $\frac{5y - 8}{11}$ знаменатель является числом 11. Так как знаменатель не содержит переменной и не равен нулю ($11 \neq 0$), то выражение имеет смысл при любых значениях переменной $y$.

Ответ: любые числа.

2) В выражении $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$ допустимые значения переменной $y$ — это все значения, при которых знаменатель $y^2 - 2y$ не равен нулю. Найдем значения $y$, которые обращают знаменатель в ноль, решив уравнение:

$y^2 - 2y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$y_1 = 0$ или $y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$

Следовательно, переменная $y$ может принимать любые значения, кроме 0 и 2.

Ответ: все числа, кроме 0 и 2.

3) В выражении $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$ знаменатель равен $y^2 + 3$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $y$ (то есть $y^2 \ge 0$). Поэтому значение знаменателя $y^2 + 3$ всегда будет больше или равно 3 ($y^2 + 3 \ge 3$). Это означает, что знаменатель никогда не может быть равен нулю. Следовательно, выражение определено для любых значений переменной $y$.

Ответ: любые числа.

4) Выражение $\frac{6y}{3y - 4} + \frac{15}{y + 16}$ является суммой двух дробей. Для того чтобы выражение имело смысл, знаменатели обеих дробей не должны быть равны нулю.
1. Для первой дроби: $3y - 4 \neq 0 \implies 3y \neq 4 \implies y \neq \frac{4}{3}$.
2. Для второй дроби: $y + 16 \neq 0 \implies y \neq -16$.
Таким образом, допустимыми являются все значения переменной $y$, кроме $-16$ и $\frac{4}{3}$.

Ответ: все числа, кроме -16 и $\frac{4}{3}$.

5) Выражение $\frac{32}{5y} - \frac{3y + 1}{2y + 7}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Для первой дроби: $5y \neq 0 \implies y \neq 0$.
2. Для второй дроби: $2y + 7 \neq 0 \implies 2y \neq -7 \implies y \neq -\frac{7}{2}$.
Таким образом, допустимыми являются все значения переменной $y$, кроме $0$ и $-\frac{7}{2}$.

Ответ: все числа, кроме $-\frac{7}{2}$ и 0.

37.7. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

1) $-\frac{4}{x} - \frac{1}{2x - 6}$;

2) $\frac{2x + 3}{x(x + 1)} + \frac{4}{3x}$;

3) $5x + \frac{71}{x + 5}$;

4) $\frac{5y - 7}{(y - 3) \cdot (2y + 5)} - \frac{5}{y}$.

1) В выражении $\frac{4}{x} - \frac{1}{2x - 6}$ допустимые значения переменной — это те значения, при которых знаменатели дробей не равны нулю. В данном выражении есть две дроби со знаменателями, содержащими переменную $x$.

Первый знаменатель $x$ не должен равняться нулю, то есть $x \neq 0$.

Второй знаменатель $2x - 6$ также не должен равняться нулю. Найдем значение $x$, при котором он обращается в ноль:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$

Следовательно, $x \neq 3$.

Таким образом, допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 0 и 3.

Ответ: все числа, кроме $x=0$ и $x=3$.

2) В выражении $\frac{2x + 3}{x(x + 1)} + \frac{4}{3x}$ знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

Первый знаменатель $x(x + 1)$ равен нулю, если $x=0$ или $x+1=0$.

Из $x+1=0$ следует $x=-1$.

Значит, из первого знаменателя получаем ограничения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Второй знаменатель $3x$ равен нулю, если $x=0$. Это ограничение уже учтено.

Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 0 и -1.

Ответ: все числа, кроме $x=0$ и $x=-1$.

3) Выражение $5x + \frac{71}{x + 5}$ состоит из многочлена $5x$, который определен для любых значений $x$, и дроби $\frac{71}{x + 5}$.

Знаменатель дроби $x + 5$ не должен равняться нулю.

$x + 5 \neq 0$

$x \neq -5$

Таким образом, допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме -5.

Ответ: все числа, кроме $x=-5$.

4) В выражении $\frac{5y - 7}{(y - 3)(2y + 5)} - \frac{5}{y}$ знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

Первый знаменатель $(y - 3)(2y + 5)$ равен нулю, если один из множителей равен нулю:

$y - 3 = 0 \implies y = 3$

$2y + 5 = 0 \implies 2y = -5 \implies y = -\frac{5}{2} = -2.5$

Значит, из первого знаменателя получаем ограничения: $y \neq 3$ и $y \neq -2.5$.

Второй знаменатель $y$ не должен равняться нулю, то есть $y \neq 0$.

Объединяя все условия, получаем, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 3, -2.5 и 0.

Ответ: все числа, кроме $y=3$, $y=-2.5$ и $y=0$.

37.8. Запишите дробь с переменной $x$, которая имеет смысл при всех значениях $x$, кроме чисел

1) 3;

2) 4;

3) -2;

4) -1 и 2;

5) 3 и 5;

6) $-\frac{2}{3}$ и 7.

1)

Дробное выражение имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Чтобы дробь не имела смысла при $x = 3$, ее знаменатель должен обращаться в ноль при этом значении $x$. Простейшее выражение, которое равно нулю при $x = 3$, это $x - 3$. В качестве числителя можно взять любое число, отличное от нуля, например 1. Таким образом, искомая дробь:

$\frac{1}{x-3}$

Проверка: знаменатель $x - 3 = 0$ только при $x = 3$.

Ответ: $\frac{1}{x-3}$.

2)

Чтобы дробь не имела смысла при $x = 4$, ее знаменатель должен быть равен нулю при $x = 4$. Этому условию удовлетворяет выражение $x - 4$.

Пример дроби:

$\frac{1}{x-4}$

Проверка: знаменатель $x - 4 = 0$ только при $x = 4$.

Ответ: $\frac{1}{x-4}$.

3)

Чтобы дробь не имела смысла при $x = -2$, ее знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -2$. Этому условию удовлетворяет выражение $x - (-2)$, то есть $x + 2$.

Пример дроби:

$\frac{1}{x+2}$

Проверка: знаменатель $x + 2 = 0$ только при $x = -2$.

Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

4)

Знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x = -1$ и при $x = 2$. Это означает, что в разложении знаменателя на множители должны присутствовать $(x - (-1))$ и $(x - 2)$, то есть $(x + 1)$ и $(x - 2)$. Знаменатель может быть их произведением.

Пример дроби:

$\frac{1}{(x+1)(x-2)}$

Можно также раскрыть скобки в знаменателе: $(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$. Тогда дробь примет вид $\frac{1}{x^2 - x - 2}$.

Проверка: знаменатель $(x+1)(x-2)$ равен нулю при $x = -1$ или $x = 2$.

Ответ: $\frac{1}{(x+1)(x-2)}$.

5)

Знаменатель дроби должен быть равен нулю при $x = 3$ и при $x = 5$. Следовательно, он должен содержать множители $(x - 3)$ и $(x - 5)$. Знаменатель может быть их произведением.

Пример дроби:

$\frac{1}{(x-3)(x-5)}$

Раскрыв скобки, получим: $(x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$. Дробь также можно записать как $\frac{1}{x^2 - 8x + 15}$.

Проверка: знаменатель $(x-3)(x-5)$ равен нулю при $x = 3$ или $x = 5$.

Ответ: $\frac{1}{(x-3)(x-5)}$.

6)

Знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x = -\frac{2}{3}$ и при $x = 7$. Соответствующие множители в знаменателе: $(x - (-\frac{2}{3}))$ и $(x - 7)$, то есть $(x + \frac{2}{3})$ и $(x - 7)$. Чтобы в выражении знаменателя не было дробей, можно домножить первый множитель на 3: $3(x + \frac{2}{3}) = 3x + 2$. Этот множитель также обращается в ноль при $x = -\frac{2}{3}$. Тогда знаменатель может быть произведением $(3x+2)(x-7)$.

Пример дроби:

$\frac{1}{(3x+2)(x-7)}$

Раскрыв скобки, получим: $(3x+2)(x-7) = 3x^2 - 21x + 2x - 14 = 3x^2 - 19x - 14$. Дробь можно записать как $\frac{1}{3x^2 - 19x - 14}$.

Проверка: знаменатель $(3x+2)(x-7)$ равен нулю при $3x+2=0$ (т.е. $x = -\frac{2}{3}$) или при $x-7=0$ (т.е. $x=7$).

Ответ: $\frac{1}{(3x+2)(x-7)}$.

37.9. Из городов A и B, расстояние между которыми по железной дороге $s$ км, вышли в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый шел со скоростью $v_1$ км/ч, а второй со скоростью $v_2$ км/ч. Через $t$ ч они встретились. Выразите переменную $t$ через $s$, $v_1$ и $v_2$. Найдите значение $t$, если известно, что:

1) $s = 350$, $v_1 = 55$, $v_2 = 45$;

2) $s = 465$, $v_1 = 85$, $v_2 = 70$.

Для решения задачи сначала выведем общую формулу для нахождения времени встречи t. Пусть расстояние между городами А и В равно s км. Первый поезд движется со скоростью v₁ км/ч, а второй — со скоростью v₂ км/ч. Поезда вышли одновременно навстречу друг другу.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

Время t, через которое они встретятся, можно найти, разделив начальное расстояние s на скорость сближения.

Таким образом, формула для нахождения времени встречи t имеет вид: $t = \frac{s}{v_1 + v_2}$.

Теперь, используя эту формулу, найдем значение t для каждого из предложенных случаев.

1) Даны значения: $s = 350$ км, $v_1 = 55$ км/ч, $v_2 = 45$ км/ч.

Найдем скорость сближения поездов: $v_1 + v_2 = 55 + 45 = 100$ км/ч.

Подставим значения в формулу для времени: $t = \frac{350}{100} = 3.5$ ч.

Ответ: $t = 3.5$ ч.

2) Даны значения: $s = 465$ км, $v_1 = 85$ км/ч, $v_2 = 70$ км/ч.

Найдем скорость сближения поездов: $v_1 + v_2 = 85 + 70 = 155$ км/ч.

Подставим значения в формулу для времени: $t = \frac{465}{155} = 3$ ч.

Ответ: $t = 3$ ч.

37.10.

1) Найдите значение дроби $ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} $, если оно существует при:

$x = 0; x = 0,5; x = 2; x = 4,6; x = 3.$

2) Вычислите значение дроби $ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} $, если оно существует

при: $c = -2; c = 4,5; c = 6\frac{1}{4}; c = \frac{2}{3}; c = 1,5.$

1)

Дана дробь $ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} $. Значение дроби существует, если ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть решим уравнение:

$ x^3 - 3x^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$ x^2(x - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $x^2 = 0$ или $x - 3 = 0$. Отсюда получаем $x = 0$ и $x = 3$. При этих значениях $x$ дробь не имеет смысла.

Для всех остальных значений $x$ ($x \neq 0$ и $x \neq 3$) мы можем упростить выражение, сократив дробь на $x$:

$ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} = \frac{3x}{x^2(x - 3)} = \frac{3}{x(x - 3)} $

Теперь вычислим значения дроби для заданных значений $x$:

При $x = 0$: значение дроби не существует, так как знаменатель равен 0.

При $x = 0,5$: $ \frac{3}{0,5(0,5 - 3)} = \frac{3}{0,5 \cdot (-2,5)} = \frac{3}{-1,25} = -2,4 $.

При $x = 2$: $ \frac{3}{2(2 - 3)} = \frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{-2} = -1,5 $.

При $x = 4,6$: $ \frac{3}{4,6(4,6 - 3)} = \frac{3}{4,6 \cdot 1,6} = \frac{3}{7,36} = \frac{300}{736} = \frac{75}{184} $.

При $x = 3$: значение дроби не существует, так как знаменатель равен 0.

Ответ: при $x=0$ не существует; при $x=0,5$ значение равно $-2,4$; при $x=2$ значение равно $-1,5$; при $x=4,6$ значение равно $ \frac{75}{184} $; при $x=3$ не существует.

2)

Дана дробь $ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} $. Значение дроби существует, если ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $c$, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть решим уравнение:

$ 2c^3 - 3c^2 = 0 $

Вынесем общий множитель $c^2$ за скобки:

$ c^2(2c - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $c^2 = 0$ или $2c - 3 = 0$. Отсюда получаем $c = 0$ и $c = \frac{3}{2} = 1,5$. При этих значениях $c$ дробь не имеет смысла.

Для всех остальных значений $c$ ($c \neq 0$ и $c \neq 1,5$) мы можем упростить выражение, сократив дробь на $(2c-3)$:

$ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} = \frac{2c - 3}{c^2(2c - 3)} = \frac{1}{c^2} $

Теперь вычислим значения дроби для заданных значений $c$:

При $c = -2$: $ \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0,25 $.

При $c = 4,5$: $c = \frac{9}{2}$. $ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(9/2)^2} = \frac{1}{81/4} = \frac{4}{81} $.

При $c = 6\frac{1}{4}$: $c = \frac{25}{4}$. $ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(25/4)^2} = \frac{1}{625/16} = \frac{16}{625} $.

При $c = \frac{2}{3}$: $ \frac{1}{c^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{1}{4/9} = \frac{9}{4} = 2,25 $.

При $c = 1,5$: значение дроби не существует, так как знаменатель равен 0.

Ответ: при $c=-2$ значение равно $ \frac{1}{4} $; при $c=4,5$ значение равно $ \frac{4}{81} $; при $c=6\frac{1}{4}$ значение равно $ \frac{16}{625} $; при $c=\frac{2}{3}$ значение равно $ \frac{9}{4} $; при $c=1,5$ не существует.

37.11. Зная, что $\frac{x - 4y}{y} = 12$, найдите значение выражения:

1) $\frac{x}{y}$;

2) $\frac{y}{x}$;

3) $\frac{3x + y}{2y}$.

1) Чтобы найти значение выражения $ \frac{x}{y} $, начнем с преобразования данного в условии равенства $ \frac{x - 4y}{y} = 12 $. Поскольку знаменатель $ y $ не может быть равен нулю, мы можем разделить числитель почленно на знаменатель:

$ \frac{x}{y} - \frac{4y}{y} = 12 $

Упростим второе слагаемое:

$ \frac{x}{y} - 4 = 12 $

Теперь перенесем -4 в правую часть уравнения, чтобы найти $ \frac{x}{y} $:

$ \frac{x}{y} = 12 + 4 $

$ \frac{x}{y} = 16 $

Ответ: 16

2) Значение выражения $ \frac{y}{x} $ является обратным к значению выражения $ \frac{x}{y} $, которое мы нашли в предыдущем пункте. Зная, что $ \frac{x}{y} = 16 $, мы можем записать:

$ \frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{16} $

3) Для нахождения значения выражения $ \frac{3x + y}{2y} $ воспользуемся результатом, полученным в первом пункте, то есть $ \frac{x}{y} = 16 $. Преобразуем данное выражение, разделив его на два слагаемых:

$ \frac{3x + y}{2y} = \frac{3x}{2y} + \frac{y}{2y} $

Теперь упростим каждое слагаемое, выделив отношение $ \frac{x}{y} $:

$ \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{1}{2} $

Подставим известное значение $ \frac{x}{y} = 16 $ в полученное выражение:

$ \frac{3}{2} \cdot 16 + \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{16}{2} + \frac{1}{2} = 3 \cdot 8 + \frac{1}{2} = 24 + 0.5 = 24.5 $

Ответ: 24.5

37.12. Выпишите верные равенства:

1) $\frac{65}{85} = \frac{13}{17}$;

2) $\frac{46}{79} = \frac{138}{237}$;

3) $\frac{21}{23} = \frac{189}{230}$.

Для проверки верности равенств необходимо убедиться, что дроби в левой и правой частях равны. Это можно сделать, приведя дроби к общему знаменателю, сократив их или используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение).

1) $ \frac{65}{85} = \frac{13}{17} $
Чтобы проверить это равенство, сократим дробь $ \frac{65}{85} $. Наибольший общий делитель для числителя 65 и знаменателя 85 равен 5.
$ \frac{65 \div 5}{85 \div 5} = \frac{13}{17} $
Получаем верное равенство $ \frac{13}{17} = \frac{13}{17} $.
Ответ: равенство верное.

2) $ \frac{46}{79} = \frac{138}{237} $
Проверим, можно ли получить вторую дробь из первой путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число.
Найдем множитель для числителей: $ 138 \div 46 = 3 $.
Проверим, получится ли знаменатель второй дроби, если умножить знаменатель первой на этот множитель: $ 79 \cdot 3 = 237 $.
Так как $ \frac{46 \cdot 3}{79 \cdot 3} = \frac{138}{237} $, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

3) $ \frac{21}{23} = \frac{189}{230} $
Снова найдем множитель для числителей: $ 189 \div 21 = 9 $.
Теперь умножим знаменатель первой дроби на этот множитель: $ 23 \cdot 9 = 207 $.
Поскольку полученный результат $ 207 $ не равен знаменателю второй дроби $ 230 $ ($ 207 \neq 230 $), данное равенство неверно.
Ответ: равенство неверное.

Таким образом, верными являются равенства 1 и 2. Выпишем их:

$ \frac{65}{85} = \frac{13}{17} $

$ \frac{46}{79} = \frac{138}{237} $