Страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Выберите неверное равенство:
A. $(3b-c)(3b+c) = 9b^2-c^2$
B. $(x+4)(4-x) = 16-x^2$
C. $36n^2-49 = (6n+7)(7-6n)$
D. $y^4-25 = (y^2-5)(y^2+5)$

2. В выражении $n^2+x+0,04$ замените x одночленом так, чтобы получился квадрат двучлена:
A. $0,2n$ и $-0,2n$;
B. $4n$ или $-4n$;
C. $2n$ или $-2n$;
D. $0,4n$ и $-0,4n$.

3. Выберите верное равенство:
A. $(3+a^2)^2 = 9+3a+a^2$;
B. $(k-5)^2 = k^2-10k+10$;
C. $(x+2y^2)^2 = x^2+4xy^2+4y^4$;
D. $16a^4-24a^2b+9b^2 = (8a^2-3b)^2$.

4. Разложите на множители выражение $a^4b^6-16c^8$:
A. $(a^2b^3-4c^4)^2$;
B. $(a^2b^3+4c^4)^2$;
C. $(a^2b^3-4c^4)(a^2b^3+4c^4)$;
D. $(a^2b^3+4c^4)(4c^4-a^2b^3)$.

5. Решите уравнение $4x^2-25=0$:
A. 2,5;
B. -2,5;
C. -2,5; 2,5;
D. -10; 10.

6. Разложите на множители выражение $169-(z+7)^2$:
A. $(6-z)(20+z)$;
B. $(6-z)(20-z)$;
C. $(6-z)(z-20)$;
D. $(z-6)(20-z)$.

7. Выберите верное равенство:
A. $8t^3+1 = (2t-1)(4t^2+2t+1)$;
B. $216a^3-b^6 = (6a+b^2)(36a^2-6ab^2-b^3)$;
C. $27x^3-64y^3 = (3x-4y)(9x^2+12xy+16y^2)$;
D. $\frac{8}{27}a^3-\frac{1}{64}b^3 = (\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b)(\frac{4}{9}a^2+\frac{1}{12}ab+\frac{1}{16}b^2)$.

8. На какое число делится выражение $41^3+14^3$:
A. 2;
B. 7;
C. 14;
D. 55?

9. В выражении $0,25a^2-*ab+9b^2$ вместо звездочки (*) вставьте число, чтобы получился квадрат разности двучлена:
A. 1,5;
B. -1,5;
C. 3;
D. -3.

10. Вычислите $\frac{5,2^2-4,8^2}{1,1^2-2 \cdot 1,1+1}$:
A. 400;
B. 40;
C. -40;
D. -400.

11. Решите уравнение $5x^3-125x=0$:
A. 0,5;
B. -5;
C. 0;
D. -5; 0; 5.

12. Упростите выражение $(8+x)(8-x)+(x+2)^2$:
A. $68-4x$;
B. $68+4x$;
C. $60-4x$;
D. $60+4x$.

13. Упростите выражение $(9-b)(9+b)-(3-b)(9+3b+b^2)$ и найдите его значение при $b=-1$:
A. 52;
B. 53;
C. 56;
D. 108.

14. В выражении $m^2+2*+0,04$ вместо звездочки (*) вставьте одночлен так, чтобы получился квадрат разности двучлена:
A. $0,1m$ или $-0,1m$;
B. $0,2m$;
C. $-0,2m$;
D. $0,2m$ и $-0,2m$.

15. Преобразуйте выражение $(5x-2)(x+1)-(5-2x)^2$ в многочлен стандартного вида:
A. $x^2+23x-27$;
B. $9x^2+23x-27$;
C. $9x^2-27x-27$;
D. $x^2+23x+27$.

16. Разложите выражение $2x+y+y^2-4x^2$ на множители:
A. $(2x+y)(y-2x)$;
B. $(2x+y)(1+y-2x)$;
C. $(y+2x)(y-2x-1)$;
D. $(y+2x)(2x-y-1)$.

17. Упростите выражение $(2-a)(4+2a+a^2)-(3+a)(9-6a+a^2)$ и найдите его значение при $a=-2$:
A. -3;
B. 37;
C. -37;
D. -19.

18. Вычислите $\frac{18^3-7^3}{18^2+18 \cdot 7+7^2}$:
A. 3218;
B. 1321;
C. 11;
D. 3125.

19. Разложите на множители выражение $(b-4)^2-(a+3)^2$:
A. $(b-a-7)(b-a+1)$;
B. $(b-a-7)(b+a-1)$;
C. $(b+a-7)(b-a+1)$;
D. $(b-a+7)(b-a-1)$.

20. Разложите на множители выражение $x^6-x^2 \cdot y^4$:
A. $(x^3-y^2)(x^3+y^2)$;
B. $x^2(x^2-y^2)^2$;
C. $x^2(x^2+y^2)^2$;
D. $x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)$.

1. Нужно проверить каждое равенство.
A. $(3b - c)(3b + c) = (3b)^2 - c^2 = 9b^2 - c^2$. Равенство верное, используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
B. $(x + 4)(4 - x) = (4 + x)(4 - x) = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$. Равенство верное, используется формула разности квадратов.
C. $36n^2 - 49 = (6n)^2 - 7^2 = (6n - 7)(6n + 7)$. Правая часть: $(6n + 7)(7 - 6n) = (7 + 6n)(7 - 6n) = 7^2 - (6n)^2 = 49 - 36n^2$. Равенство $36n^2 - 49 = 49 - 36n^2$ неверно в общем случае.
D. $y^4 - 25 = (y^2)^2 - 5^2 = (y^2 - 5)(y^2 + 5)$. Равенство верное, используется формула разности квадратов.
Неверным является равенство C.

Ответ: C

2. Выражение является квадратом двучлена, если оно имеет вид $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
В нашем выражении $n^2 + x + 0,04$ имеем $a^2 = n^2$, откуда $a=n$, и $b^2 = 0,04$, откуда $b=0,2$.
Тогда член $x$ должен быть равен удвоенному произведению $2ab$ или $-2ab$.
$2ab = 2 \cdot n \cdot 0,2 = 0,4n$.
$-2ab = -2 \cdot n \cdot 0,2 = -0,4n$.
Следовательно, $x$ может быть равен $0,4n$ или $-0,4n$.

Ответ: D

3. Проверим каждое равенство, используя формулы сокращенного умножения.
A. $(3 + a^2)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 9 + 6a^2 + a^4$. Равенство $(3 + a^2)^2 = 9 + 3a + a^2$ неверно.
B. $(k - 5)^2 = k^2 - 2 \cdot k \cdot 5 + 5^2 = k^2 - 10k + 25$. Равенство $(k - 5)^2 = k^2 - 10k + 10$ неверно.
C. $(x + 2y^2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (2y^2) + (2y^2)^2 = x^2 + 4xy^2 + 4y^4$. Равенство верное.
D. $16a^4 - 24a^2b + 9b^2 = (4a^2)^2 - 2 \cdot (4a^2) \cdot (3b) + (3b)^2 = (4a^2 - 3b)^2$. Равенство $16a^4 - 24a^2b + 9b^2 = (8a^2 - 3b)^2$ неверно.

Ответ: C

4. Выражение $a^4b^6 - 16c^8$ представляет собой разность квадратов.
Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A^2 = a^4b^6 = (a^2b^3)^2$, значит $A = a^2b^3$.
Здесь $B^2 = 16c^8 = (4c^4)^2$, значит $B = 4c^4$.
Подставляем в формулу: $a^4b^6 - 16c^8 = (a^2b^3 - 4c^4)(a^2b^3 + 4c^4)$.

Ответ: C

5. Решим уравнение $4x^2 - 25 = 0$.
Это уравнение можно решить, представив левую часть как разность квадратов:
$(2x)^2 - 5^2 = 0$
$(2x - 5)(2x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2,5$
$2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2,5$
Корни уравнения: $-2,5$ и $2,5$.

Ответ: C

6. Выражение $169 - (z + 7)^2$ является разностью квадратов, так как $169 = 13^2$.
Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 13$ и $b = z + 7$.
$13^2 - (z + 7)^2 = (13 - (z + 7))(13 + (z + 7))$
Упростим выражения в скобках:
$(13 - z - 7)(13 + z + 7) = (6 - z)(20 + z)$.

Ответ: A

7. Проверим каждое равенство, используя формулы суммы и разности кубов.
A. Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$8t^3 + 1 = (2t)^3 + 1^3 = (2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)$. Равенство неверно.
B. Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$216a^3 - b^6 = (6a)^3 - (b^2)^3 = (6a - b^2)(36a^2 + 6ab^2 + b^4)$. Равенство неверно.
C. $27x^3 - 64y^3 = (3x)^3 - (4y)^3 = (3x - 4y)((3x)^2 + (3x)(4y) + (4y)^2) = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$. Равенство верное.
D. $\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{64}b^3 = (\frac{2}{3}a)^3 - (\frac{1}{4}b)^3 = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)((\frac{2}{3}a)^2 + (\frac{2}{3}a)(\frac{1}{4}b) + (\frac{1}{4}b)^2) = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{6}ab + \frac{1}{16}b^2)$. Равенство неверно.

Ответ: C

8. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$41^3 + 14^3 = (41 + 14)(41^2 - 41 \cdot 14 + 14^2)$
$41 + 14 = 55$
Выражение равно $55 \cdot (41^2 - 41 \cdot 14 + 14^2)$.
Так как один из множителей равен 55, всё выражение делится на 55.

Ответ: D

9. Выражение должно иметь вид квадрата разности двучлена $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В выражении $0,25a^2 - *ab + 9b^2$ имеем $x^2 = 0,25a^2 = (0,5a)^2$, значит $x = 0,5a$.
Имеем $y^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $y = 3b$.
Средний член должен быть $-2xy = -2 \cdot (0,5a) \cdot (3b) = -1a \cdot 3b = -3ab$.
Сравнивая с $-*ab$, получаем, что $* = 3$.

Ответ: C

10. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $5,2^2 - 4,8^2$. Это разность квадратов.
$(5,2 - 4,8)(5,2 + 4,8) = (0,4)(10) = 4$.
Знаменатель: $1,1^2 - 2 \cdot 1,1 + 1$. Это квадрат разности.
$1,1^2 - 2 \cdot 1,1 \cdot 1 + 1^2 = (1,1 - 1)^2 = (0,1)^2 = 0,01$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{4}{0,01} = \frac{4}{1/100} = 4 \cdot 100 = 400$.

Ответ: A

11. Решим уравнение $5x^3 - 125x = 0$.
Вынесем общий множитель $5x$ за скобки:
$5x(x^2 - 25) = 0$.
Разложим выражение в скобках как разность квадратов:
$5x(x - 5)(x + 5) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$5x = 0 \implies x_1 = 0$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
$x + 5 = 0 \implies x_3 = -5$
Корни уравнения: $-5, 0, 5$.

Ответ: D

12. Упростим выражение $(8 + x)(8 - x) + (x + 2)^2$.
Первое слагаемое - разность квадратов: $(8 + x)(8 - x) = 8^2 - x^2 = 64 - x^2$.
Второе слагаемое - квадрат суммы: $(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Сложим полученные выражения:
$(64 - x^2) + (x^2 + 4x + 4) = 64 - x^2 + x^2 + 4x + 4 = 4x + 68$.

Ответ: B

13. Упростим выражение $(9 - b)(9 + b) - (3 - b)(9 + 3b + b^2)$.
Первая часть - разность квадратов: $(9 - b)(9 + b) = 9^2 - b^2 = 81 - b^2$.
Вторая часть - разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(3 - b)(3^2 + 3 \cdot b + b^2) = 3^3 - b^3 = 27 - b^3$.
Объединяем части:
$(81 - b^2) - (27 - b^3) = 81 - b^2 - 27 + b^3 = b^3 - b^2 + 54$.
Теперь найдем значение выражения при $b = -1$:
$(-1)^3 - (-1)^2 + 54 = -1 - 1 + 54 = 52$.

Ответ: A

14. Требуется получить квадрат разности двучлена, который имеет вид $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Выражение имеет вид $m^2 + 2* + 0,04$. Чтобы получить квадрат разности, средний член должен быть отрицательным. Вероятно, в задании опечатка, и имелось в виду $m^2 \pm 2* + 0,04$ или выражение для квадрата разности должно быть $m^2 - 2* + 0,04$.
Будем исходить из того, что нужно получить $(m - 0,2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 0,2 + 0,04 = m^2 - 0,4m + 0,04$.
Средний член в задании записан как $+2*$. Чтобы получить $-0,4m$, нужно, чтобы $2* = -0,4m$.
Отсюда $* = \frac{-0,4m}{2} = -0,2m$.

Ответ: C

15. Преобразуем выражение $(5x - 2)(x + 1) - (5 - 2x)^2$.
Раскроем первую скобку: $(5x - 2)(x + 1) = 5x^2 + 5x - 2x - 2 = 5x^2 + 3x - 2$.
Раскроем вторую скобку (квадрат разности): $(5 - 2x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2$.
Вычтем второе из первого:
$(5x^2 + 3x - 2) - (25 - 20x + 4x^2) = 5x^2 + 3x - 2 - 25 + 20x - 4x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(5x^2 - 4x^2) + (3x + 20x) + (-2 - 25) = x^2 + 23x - 27$.

Ответ: A

16. Разложим на множители выражение $2x + y + y^2 - 4x^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(y^2 - 4x^2) + (y + 2x)$.
Первая группа является разностью квадратов: $y^2 - (2x)^2 = (y - 2x)(y + 2x)$.
Выражение принимает вид: $(y - 2x)(y + 2x) + 1 \cdot (y + 2x)$.
Вынесем общий множитель $(y + 2x)$ за скобки:
$(y + 2x)((y - 2x) + 1) = (y + 2x)(y - 2x + 1)$.
Переставив слагаемые в первом множителе, получим $(2x+y)(1+y-2x)$.

Ответ: B

17. Упростим выражение $(2 - a)(4 + 2a + a^2) - (3 + a)(9 - 6a + a^2)$.
Первая часть - формула разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$(2 - a)(2^2 + 2a + a^2) = 2^3 - a^3 = 8 - a^3$.
Во второй части $(3 + a)(9 - 6a + a^2)$ второй множитель не соответствует формуле суммы кубов, где должно быть $9 - 3a + a^2$. Предположим, в задании опечатка и должно быть $9 - 3a + a^2$. Тогда это сумма кубов: $(3 + a)(3^2 - 3a + a^2) = 3^3 + a^3 = 27 + a^3$.
При этом предположении выражение равно: $(8 - a^3) - (27 + a^3) = 8 - a^3 - 27 - a^3 = -2a^3 - 19$.
Найдем значение при $a = -2$:
$-2(-2)^3 - 19 = -2(-8) - 19 = 16 - 19 = -3$.
Этот ответ есть среди вариантов, что подтверждает гипотезу об опечатке.

Ответ: A

18. В данном выражении $\frac{18^3 - 7^3}{18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2}$ числитель является разностью кубов.
Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$\frac{(18 - 7)(18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2)}{18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$18 - 7 = 11$.

Ответ: C

19. Выражение $(b - 4)^2 - (a + 3)^2$ является разностью квадратов.
Используем формулу $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$, где $X = b - 4$ и $Y = a + 3$.
$((b - 4) - (a + 3))((b - 4) + (a + 3))$.
Упростим выражения в скобках:
$(b - 4 - a - 3)(b - 4 + a + 3) = (b - a - 7)(b + a - 1)$.

Ответ: B

20. Разложим на множители выражение $x^6 - x^2y^4$.
Сначала вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^4 - y^4)$.
Выражение в скобках $x^4 - y^4$ является разностью квадратов $(x^2)^2 - (y^2)^2$.
$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Таким образом, исходное выражение равно $x^2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Ответ: D