Страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что представляет собой “математическая модель задачи”?

2. Что означает “решить задачу алгебраическим способом”, “арифметическим способом”?

3. Как можно проверить, правильно ли решена задача?

4. Как называется способ решения задачи с помощью составления неравенства?

5. Как называется способ решения задачи с помощью составления системы уравнений или системы неравенств?

1. “Математическая модель задачи” – это представление условий задачи на математическом языке. Это может быть уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств, функция, график или любая другая математическая конструкция, которая формально описывает связи между известными и неизвестными величинами. Процесс решения задачи через моделирование состоит из трех этапов:
1. Составление математической модели (перевод текстовых условий в математические формулы).
2. Работа с моделью (решение полученного уравнения, неравенства и т.д.).
3. Интерпретация результата (запись ответа на вопрос задачи на основе полученного решения).
Например, для задачи “Сумма двух чисел равна 25, а одно из них на 5 больше другого” математической моделью будет система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 5 \end{cases} $.
Ответ: Математическая модель задачи — это уравнение, неравенство или их система, описывающие условие задачи с помощью математических соотношений.

2. Эти два термина описывают разные подходы к решению задач.
“Решить задачу арифметическим способом” означает найти ответ, последовательно выполняя арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над числами, данными в условии. Решение обычно записывается по действиям с пояснениями, без введения переменных.
“Решить задачу алгебраическим способом” означает ввести одну или несколько переменных для обозначения неизвестных величин, составить математическую модель (чаще всего уравнение или систему уравнений), решить ее и на основе полученного результата дать ответ на вопрос задачи.
Ответ: Алгебраический способ — это решение задачи через составление и решение уравнения или неравенства с неизвестными переменными. Арифметический способ — это решение задачи по действиям, используя только числа из условия.

3. Чтобы проверить, правильно ли решена задача, необходимо выполнить проверку. Для этого полученное решение (найденные значения неизвестных) нужно подставить в исходные условия текстовой задачи, а не в составленное уравнение. Это позволяет убедиться не только в правильности вычислений, но и в корректности самой математической модели. Если все условия, описанные в тексте задачи, выполняются с найденными значениями, то задача решена верно. Например, если в задаче "В двух корзинах вместе 50 яблок, причем в первой на 10 яблок больше, чем во второй" получен ответ "30 и 20 яблок", проверка будет такой: 1) $30 + 20 = 50$ (общее количество сходится); 2) $30 - 20 = 10$ (разница сходится). Оба условия выполнены, значит, ответ правильный.
Ответ: Нужно подставить полученный ответ в исходный текст задачи и проверить, выполняются ли все ее условия.

4. Способ решения задачи, в котором математической моделью выступает неравенство, является разновидностью алгебраического способа. Его так и называют — решение задачи с помощью составления неравенства. Этот метод применяется, когда в условии есть ограничения, выраженные словами «не более», «не менее», «больше», «меньше». Например, в задаче "Сколько тетрадей по 30 рублей можно купить на 200 рублей?" составляется неравенство $30 \cdot x \le 200$, где $x$ — количество тетрадей.
Ответ: Решение задачи с помощью составления неравенства.

5. Этот способ является алгебраическим и используется, когда в задаче есть несколько неизвестных величин, связанных разными условиями. Он называется решение задачи с помощью составления системы уравнений (или системы неравенств). Для каждой связи между неизвестными составляется отдельное уравнение или неравенство, которые затем решаются совместно. Например, задача "Два карандаша и три ручки стоят 55 рублей, а три карандаша и две ручки — 45 рублей. Сколько стоит один карандаш и одна ручка?" решается с помощью системы уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 55 \\ 3x + 2y = 45 \end{cases} $, где $x$ — цена карандаша, а $y$ — цена ручки.
Ответ: Решение задачи с помощью составления системы уравнений или системы неравенств.

36.1. Библиотекарь получила школьные учебники и решила разместить их по стеллажам. Она посчитала, что если поставить по 20 учебников на каждую полку, то две полки окажутся пустыми. Но если на каждую полку поставить по 15 учебников, то на всех полках будет одинаковое число книг. Сколько учебников получено библиотекой?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это общее количество полок, а $y$ — общее количество полученных учебников.

Составим уравнения на основе условий задачи.

1. Если поставить по 20 учебников на каждую полку, то две полки окажутся пустыми. Это означает, что для размещения книг используется $x - 2$ полок. Общее количество учебников можно выразить как:

$y = 20 \cdot (x - 2)$

2. Если поставить по 15 учебников на каждую полку, то будут заняты все полки. В этом случае общее количество учебников равно:

$y = 15 \cdot x$

Так как количество учебников ($y$) в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений, чтобы найти количество полок ($x$):

$20 \cdot (x - 2) = 15 \cdot x$

Решим полученное уравнение:

$20x - 40 = 15x$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения, а числа — в правую:

$20x - 15x = 40$

$5x = 40$

$x = \frac{40}{5}$

$x = 8$

Таким образом, общее количество полок равно 8.

Теперь, зная количество полок, мы можем найти общее количество учебников, подставив значение $x$ в любое из первоначальных уравнений. Используем второе уравнение:

$y = 15 \cdot x = 15 \cdot 8 = 120$

Проверим результат, подставив $x=8$ в первое уравнение:

$y = 20 \cdot (8 - 2) = 20 \cdot 6 = 120$

Оба уравнения дают одинаковый результат. Следовательно, библиотекарь получила 120 учебников.

Ответ: 120 учебников.